[论文解读] On the automorphism group of minimal S-adic subshifts of finite alphabet rank

Bastíán Espinoza, Alejandro Maass|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2020

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文证明了有限字母秩的极小S-adelic子移位的自同构群是几乎ℤ群，扩展了关于低复杂度子移位的先前结果。证明依赖于组合分析，表明此类系统具有有限多个渐近类，从而将自同构群的代数结构限制为几乎循环群。

ABSTRACT

It has been recently proved that the automorphism group of a minimal subshift with non-superlinear word complexity is virtually $\mathbb{Z}$ [DDPM15, CK15]. In this article we extend this result to a broader class proving that the automorphism group of a minimal S-adic subshift of finite alphabet rank is virtually $\mathbb{Z}$. The proof is based on a fine combinatorial analysis of the asymptotic classes in this type of subshifts, which we prove are a finite number.

研究动机与目标

• 将极小子移位在非超线性复杂度下自同构群为几乎ℤ群的结果推广到更广泛的系统类别。
• 研究有限字母秩极小S-adelic子移位的自同构群结构。
• 建立有限字母秩S-adelic子移位中渐近类有限性意味着自同构群几乎循环的结论。
• 统一并扩展关于低复杂度子移位的已知结果，包括替换系统、线性重复系统以及区间交换变换的符号编码。

提出的方法

• 通过词结构与因子分解的组合技术分析S-adelic子移位的渐近类。
• 利用因子可分解序列中不同初始符号下可能的左闭前缀（长度⟨W⟩）的有限上界。
• 应用[DDMP16]中渐近类论证的改进版本，表明有限渐近类意味着自同构群为几乎ℤ群。
• 证明指令序列处处增长且字母秩有限可确保渐近类有限。
• 通过导出词的周期性论证，利用最小周期和前缀-后缀关系约束自同构的结构。
• 利用可识别、本原且适当的S-adelic系统的性质，确保自同构群的结构刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限字母秩极小S-adelic子移位的自同构群是否仍为几乎ℤ群，如同非超线性复杂度子移位的情形？
• RQ2 有限字母秩S-adelic子移位中可存在多少渐近类，且该数量是否可统一有界？
• RQ3 有限字母秩S-adelic系统的组合结构能否用于约束其自同构群的代数结构？
• RQ4 低复杂度子移位自同构群结果在多大程度上可推广至更广泛的有限拓扑秩S-adelic子移位类别？
• RQ5 指令序列需满足何种条件，才能使自同构群不仅为几乎ℤ群，而且是有限生成的？

主要发现

• 任何有限字母秩极小S-adelic子移位的自同构群均为几乎ℤ群。
• 此类系统中渐近类的数量是有限的，且该有限性是群几乎循环性的关键。
• 对于具有不同初始符号的因子可分解序列，长度⟨W⟩的可能左闭前缀数量存在至多122(|W|)^7的统一上界。
• 证明表明自同构群由移位和有限群生成，意味着Aut(X,T)/⟨T⟩是有限的。
• 该结果适用于所有有限拓扑秩极小S-adelic子移位，包括替换子移位、线性重复系统以及区间交换变换的符号因子。
• 该定理扩展了关于非超线性复杂度子移位的先前结果，涵盖有限秩Bratteli-Vershik系统及其符号因子的层级子移位。