[论文解读] On the average distribution of primes represented by binary quadratic forms

Jakob Johann Ditchen|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用 3

一句话总结

该论文为负基本判别式长范围内的正定二元二次型所表示的素数，建立了Bombieri–Vinogradov与Barban–Davenport–Halberstam型定理。它表明，对于几乎所有判别式，任意此类型式所表示的最小素数被限制在 |q|^{7+ε} 以内；而对于大多数型式与大多数判别式，该界限可进一步收紧至 |q|^{3+ε}，其证明基于理想类群中的大筛法不等式与特征和估计。

ABSTRACT

We investigate the average distribution of primes represented by positive definite integral binary quadratic forms, the average being taken over negative fundamental discriminants in long ranges. In particular, we prove corresponding results of Bombieri-Vinogradov type and of Barban-Davenport-Halberstam type, although with shorter ranges than in the original theorems for primes in arithmetic progressions: The results imply that, for all $a>0$, the least prime that can be represented by any given positive definite binary quadratic form of discriminant $q$ is smaller than $|q|^{7+a}$ for all forms to "most" discriminants; moreover, it is even smaller than $|q|^{3+a}$ for "most" forms to "most" discriminants.

研究动机与目标

• 将Bombieri–Vinogradov与Barban–Davenport–Halberstam定理推广至二元二次型所表示的素数，而不仅限于算术级数。
• 分析正定整系数二元二次型在负基本判别式长范围内的素数平均分布。
• 在判别式与类群结构的条件下，建立任意给定型式所表示最小素数的有效上界。
• 利用理想类群中的大筛法不等式与特征和估计，推导出各类型式中素数计数函数的均方误差与最大误差界。
• 在自然密度假设下，对形如 $x^2 + ny^2$ 的最小素数的已知最优上界作出定量改进。

提出的方法

• 通过解析数论技巧，推导出复理想类群特征的大筛法不等式，以控制类群上的特征和。
• 通过在判别式 $q \in \mathfrak{F}(Q)$ 的类群 $\mathcal{K}(q)$ 中对所有型式类取最大误差项进行有界处理，应用平滑的Bombieri–Vinogradov型估计。
• 利用实与复特征和估计控制素数计数函数 $\pi(X;q,C)$ 中的误差项，借助 $L$-函数与类数估计的界。
• 通过在判别式与型式类上取平均，结合均方误差界，建立一般性的Barban–Davenport–Halberstam型结果。
• 在Lindelöf假设下，通过提升有效性范围并减少最小素数界中的指数，实现指数的改进。
• 应用Siegel–Walfisz定理由二元二次型与无对数零密度估计，推导出所表示最小素数的非条件与条件上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在负基本判别式的长范围内，正定二元二次型所表示的素数的平均分布如何？
• RQ2 Bombieri–Vinogradov型定理能否推广至二元二次型情形？其有效判别式范围如何？
• RQ3 对于判别式为 $q$ 的给定二元二次型，其所表示的最小素数关于 $|q|$ 的增长速度如何？
• RQ4 所表示最小素数小于 $|q|^{3+\varepsilon}$ 的判别式的密度是多少？
• RQ5 能否利用几乎所有平方自由 $n$ 满足 $y_{\min} = 1$ 的假设，推导出形如 $x^2 + ny^2$ 的最小素数的平均上界？

主要发现

• 对所有 $\varepsilon > 0$，任意给定正定二元二次型（判别式为 $q$）所表示的最小素数，对几乎所有判别式，其上界为 $|q|^{7+\varepsilon}$。
• 对大多数型式与大多数判别式，所表示的最小素数上界为 $|q|^{3+\varepsilon}$，非条件上界中的指数得到改进。
• Bombieri–Vinogradov型结果（1.3）在 $Q^{20/3 + \varepsilon} \leq X(\log X)^{-B}$ 时成立，误差项被控制在 $Q^{1/2}X(\log X)^{-A}$ 以内。
• Barban–Davenport–Halberstam型结果（1.4）在 $Q^{3 + \varepsilon} \leq X(\log X)^{-2A - 4}$ 时成立，均方误差被控制在 $Q^{1/2}X^2(\log X)^{-A}$ 以内。
• 在Lindelöf假设下，最小素数上界中的指数可分别从 $7+\varepsilon$ 降低至 $2+\varepsilon$，从 $3+\varepsilon$ 降低至 $1+\varepsilon$。
• 在 $y_{\min} = 1$ 对几乎所有平方自由 $n$ 成立的条件下，形如 $x^2 + ny^2$ 的最小素数满足 $p_0(n) \leq n^{2+\varepsilon}$ 对几乎所有 $n$ 成立。