[论文解读] On the average exponent of CM Elliptic Curves Modulo p

Sungjin Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文利用数域版本的Bombieri-Vinogradov定理，为模 $ p $ 的CM椭圆曲线的平均指数 $ e_p $ 建立了改进的无条件误差项。证明了 $ \sum_{p \leq x, p \nmid N} e_p = c_E \mathrm{Li}(x^2) + O_{A,B}(x^2 / (\log x)^B) $，其中 $ c_E $ 通过 $ E $ 的分裂域中的算术定义，显著优于先前的界。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over $\Q$ and with complex multiplication by $\mO_K$, the ring of integers in an imaginary quadratic field $K$. It is known that $E(\F_p)$ has a structure E(\F_p)\simeq \Z/d_p\Z \oplus \Z/e_p\Z. with $d_p|e_p$. We give an asymptotic formula for the average order of $e_p$, with improved error term, and upper bound estimate for the average of $d_p$.

研究动机与目标

• 改进 $ e_p $ 平均阶数渐近公式中的无条件误差项，其中 $ e_p $ 是群结构 $ E(\mathbb{F}_p) \simeq \mathbb{Z}/d_p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/e_p\mathbb{Z} $ 中的较大不变量。
• 利用数域版本的Brun-Titchmarsh不等式，为 $ d_p $ 的平均值提供上界。
• 借助类域论和分裂域 $ \mathbb{Q}(E[k]) $ 的性质，将素数的分裂行为与扭结构联系起来。
• 通过无条件地应用CM椭圆曲线的更强误差项，超越Freiberg-Kurlberg和Wu的先前结果。
• 证明 $ d_p $ 的平均值增长不超过 $ x \log \log x $，优于平凡的 $ x \log x $ 界。

提出的方法

• 利用恒等式 $ \frac{1}{k} = \sum_{dm|k} \frac{\mu(d)}{m} $ 将 $ \frac{p}{d_p} $ 表示为对除数的求和，从而实现对 $ k $ 的求和。
• 应用数域版本的Bombieri-Vinogradov定理（Huxley, 2002）来控制在 $ \mathbb{Q}(E[k]) $ 中完全分裂的素数计数中的误差项。
• 依赖类域论，通过模 $ k\mathfrak{f} $ 的理想类刻画 $ \mathbb{Q}(E[k]) $ 中素数 $ p $ 的分裂行为，其中 $ \mathfrak{f} $ 是一个导子理想。
• 利用数域Brun-Titchmarsh不等式得到的界 $ \widetilde{\pi}_E(x;k) \ll \frac{x}{[K(E[k]):K] \log(x/N(k\mathfrak{f}))} $ 来估计求和。
• 应用部分求和法，并对 $ n_k = [\mathbb{Q}(E[k]:\mathbb{Q}] $ 进行估计，利用 $ \phi(k)^2 \ll n_k \ll k^2 $ 来控制主项和误差项。
• 结合Bombieri-Vinogradov定理与Brun-Titchmarsh不等式的估计，平衡对 $ k $ 求和中的误差，优化截断参数 $ y $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于定义在 $ \mathbb{Q} $ 上的CM椭圆曲线，和式 $ \sum_{p \leq x, p \nmid N} e_p $ 的最佳可能无条件误差项是什么？
• RQ2 在 $ E(\mathbb{F}_p) $ 的群结构中，作为较小不变量的 $ d_p $ 的平均大小如何随 $ x $ 增长？
• RQ3 数域版本的Bombieri-Vinogradov定理能否用于将 $ e_p $ 平均值的误差项改进至超越先前结果？
• RQ4 数域中的Brun-Titchmarsh不等式在获得 $ \sum d_p $ 的非平凡上界方面能发挥多大作用？
• RQ5 椭圆曲线的导子 $ N $ 如何影响 $ \sum e_p $ 的渐近公式中的误差项？

主要发现

• 本文无条件地建立了渐近式 $ \sum_{p \leq x, p \nmid N} e_p = c_E \mathrm{Li}(x^2) + O_{A,B}(x^2 / (\log x)^B) $，其中 $ c_E = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_k} \sum_{dm=k} \frac{\mu(d)}{m} $，优于Wu的误差项。
• 误差项为 $ O_{A,B}(x^2 / (\log x)^B) $，对任意 $ B > 0 $ 成立，前提是导子 $ N \leq (\log x)^A $，这相比先前的 $ O(x^2 / (\log x)^{9/8}) $ 界有显著改进。
• $ d_p $ 的平均值满足 $ \sum_{p \leq x, p \nmid N} d_p \ll_A x \log \log x $，优于平凡界 $ \ll x \log x $，该结果通过数域Brun-Titchmarsh不等式得出。
• 对 $ \sum e_p $ 误差项的改进关键依赖于对 $ K(E[k]) $ 中素数分裂行为应用数域版本的Bombieri-Vinogradov定理（Huxley, 定理1）。
• $ \sum d_p $ 的界通过在参数 $ y $ 处截断求和实现：对 $ k \leq y $ 使用Brun-Titchmarsh不等式，对 $ k > y $ 使用平凡界 $ \pi_E(x;k) \ll x/k^2 $，最优选择为 $ y = \sqrt{x/(3N(\mathfrak{f}))} $。
• 结果表明，$ d_p $ 的平均值增长缓慢，至多为 $ x \log \log x $，说明 $ d_p $ 通常较小，与CM椭圆曲线的结构一致。