[论文解读] On the Average Maximal Number of Balls in a Bin Resulting from Throwing r Balls into n Bins T times

Amir Behrouzi-Far, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|May 19, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文研究了将 r 个球投入 n 个桶中 T 次后，桶中最大球数的平均值的渐近行为，使用全纯假设和递推关系，推导出平均负载之上的超额部分以 $ C_{n,r} ackslash sqrt{T} + O(1/\backslash sqrt{T}) $ 的形式增长。文中为较小的 $ n $ 和 $ r $ 提供了 $ C_{n,r} $ 的精确递推关系和估计值，并承诺向 OEIS 捐赠 150 美元，以换取以 $ n $、$ r $ 和 $ \pi $ 表示的 $ C_{n,r} $ 的闭式表达式。

ABSTRACT

We use the holonomic ansatz to estimate the asymptotic behavior, in $T$, of the average maximal number of balls in a bin that is obtained when one throws uniformly at random (without replacement) $r$ balls into $n$ bins, $T$ times. Our approach works, in principle, for any fixed $n$ and $r$. We were able to do the cases $(n,r)$ = $(2,1),(3,1),(4,1), (4,2)$, but things get too complicated for larger values of $n$ and $r$. We are pledging a \$150 donation to the OEIS for an explicit expression, (in terms of $n$, $r$, and $π$) for the constant $C_{n,r}$ such that that average equals $\frac{n}{r}\,T+C_{n,r} \sqrt{T}+O(1/\sqrt{T})$. In this version we announce that the problem has been solved (to the extent possible) by Marcus Michelen.

研究动机与目标

• 确定在将 r 个球投入 n 个桶中 T 轮后，最重桶中期望超额负载的渐近行为。
• 为较小的 $ n $ 和 $ r $ 值计算超额负载 $ A(n,r;T) $ 的精确线性递推关系，从而实现对极大 $ T $ 的计算。
• 估计渐近展开 $ A(n,r;T) = C_{n,r} \backslash sqrt{T} + O(1/\backslash sqrt{T}) $ 中的常数 $ C_{n,r} $，并挑战数学界寻找 $ C_{n,r} $ 的闭式表达式。

提出的方法

• 使用全纯假设和 Wilf-Zeilberger 的算法证明理论，为 $ A(n,r;T) $ 推导出具有多项式系数的线性递推关系，适用于任意固定的 $ n $ 和 $ r $。
• 通过暴力枚举多项式系数和对称函数，计算 $ A(n,r;T) $ 的初始值。
• 使用符号计算拟合递推关系，然后通过存在性理论保证进行事后验证。
• 利用递推关系计算极大 $ T $ 下的 $ A(n,r;T) $，从而绕过直接枚举的不可行性。
• 对递推解应用 Stirling 近似，以提取渐近常数 $ C_{n,r} $。
• 利用 $ A(n,r;T) $ 的围线积分和多重求和表示，作为寻找 $ C_{n,r} $ 闭式表达式的潜在路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 $ n $ 和 $ r $，当 $ T \to \infty $ 时，最重桶中负载的期望值减去平均负载的渐近行为是什么？
• RQ2 能否为 $ A(n,r;T) $ 推导出具有多项式系数的线性递推关系，并利用它计算任意大的 $ T $ 的值？
• RQ3 渐近展开 $ A(n,r;T) = C_{n,r} \sqrt{T} + O(1/\sqrt{T}) $ 中的常数 $ C_{n,r} $ 的精确值是什么？
• RQ4 是否存在以 $ n $、$ r $ 和 $ \pi $ 表示的 $ C_{n,r} $ 的闭式表达式？
• RQ5 对小的 $ n $ 和 $ r $，启发式估计的 $ C_{n,r} $ 与数值计算值相比如何？

主要发现

• 对于 $ (n,r) = (2,1) $，递推关系 $ A(T) = \frac{1}{T-1} A(T-1) + A(T-2) $ 成立，初始条件为 $ A(1) = 1/2 $，$ A(2) = 1/2 $，渐近常数为 $ C_{2,1} = (2\pi)^{-1/2} \approx 0.398942 $。
• 对于 $ (n,r) = (3,1) $，推导出五阶线性递推关系，得到 $ C_{3,1} \approx 0.489 $，且递推关系已事后验证。
• 对于 $ (n,r) = (4,1) $，计算出九阶线性递推关系并存储于公共文件中，$ C_{4,1} \approx 0.516 $。
• 对于 $ (n,r) = (4,2) $，推导出八阶线性递推关系，得到 $ C_{4,2} \approx 0.59430 $。
• 作者估计 $ C_{n,r} \approx (r/n) \sqrt{\pi \log n} \log(n/r) $ 作为启发式公式，尽管其在小的 $ n $ 和 $ r $ 时与精确值存在偏差。
• 为寻找 $ C_{n,r} $ 的闭式表达式，向 OEIS 承诺捐赠 150 美元，其中 $50 用于 $ r=1 $ 情况，$100 用于一般情况，且已向 Marcus Michelen 和 Brendan McKay 致敬捐赠以表彰其部分进展。