[论文解读] On the average number of rational points on curves of genus 2

Michael Stoll|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文提出了关于系数为整数且有界于 N 的亏格 2 曲线的有理点平均数量的启发式与计算证据，推测其衰减为 1/√N 的形式。研究引入了对点高度的界，并探讨了算法实现的含义，基于对 N=50 以内的曲线进行的大规模计算，通过系统性搜索与三次曲线相交技术，发现了新的有理点数量记录。

ABSTRACT

Based on computational evidence, we formulate a number of conjectures on the distribution of rational points on curves of genus 2 over the rational numbers, in terms of the size of the coefficients of an equation of the form y^2 = f(x) >.

研究动机与目标

• 理解系数为整数且有界于 N 的亏格 2 曲线的有理点平均数量。
• 研究此类曲线上有理点的分布与高度界。
• 探讨利用高度界计算有理点的算法可行性。
• 通过系统性计算与三次曲线相交技术，搜索具有异常多有理点的曲线。
• 检验关于有理点数量统一有界与多项式有界的猜想的有效性。

提出的方法

• 启发式分析估算奇异曲线的比例，并计算 ℙ¹(ℚ) 中每个 x 坐标对应的期望有理点数。
• 使用高度函数 H(a:b) = max{|a|,|b|} 来界定 ℂ_N 中曲线上有理点坐标的范围。
• 应用函数方程与 φ(t) 的幂级数展开，以计算期望点数中的系数函数 γ(a:b)。
• 使用 Frobenius 轨迹的乘积 ∏_{p<X} #C(𝔽_p)/p 作为预筛选标准，以识别具有较多有理点的曲线。
• 使用 C 程序计算三次曲线与亏格 2 曲线的第六个交点，利用已知的有理点通过行列式条件寻找新的有理点。
• 在 N=50 以内的曲线上进行大规模计算，使用 ratpoints 与高达 131,071 的高度界来搜索有理点。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于系数为整数且有界于 N 的亏格 2 曲线，其有理点的平均数量是多少？
• RQ2 此类曲线上有理点的高度是否可被 N 的多项式函数有界？
• RQ3 具有大量有理点的亏格 2 曲线族是否表现出结构规律，例如在 x=0, ∞, ±1, ±2 处存在有理点？
• RQ4 ABC 猜想或其他数论原理是否能推导出亏格 2 曲线上有理点的有效高度界？
• RQ5 是否存在对所有 ℂ_N 中的亏格 2 曲线统一或对数有界的有理点数量？

主要发现

• 在 ℂ_N 中，亏格 2 曲线的有理点平均数量被推测以 ∼γ/√N 的形式衰减，其中 γ>0 为常数。
• 随着 N 增大，有理点平均数量趋于零，因此至少有一个有理点的亏格 2 曲线的密度为零。
• 对于任意 ε>0，推测在系数空间的 Zariski 闭子集之外，ℂ_N 中曲线上有理点的高度被有界于 B_ε N^{13/2+ε}。
• 推测有理点数量存在统一有界 B log(2N+1)，该界弱于 Lang 猜想，但得到实验数据的支持。
• 系统性计算至 N=50 发现，某些曲线上有超过 370 个有理点，其中一条曲线通过三次曲线相交技术至少找到 374 个有理点。
• 将 Frobenius 轨迹乘积（至 p=200）用作预筛选工具，显著提高了识别具有较多有理点曲线的效率。