[论文解读] On the Banach-Mazur Distance between the Cube and the Crosspolytope

Fei Xue|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Mathematical Approximation and Integration参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文建立了 $n$-维立方体 $C_n$ 与正单纯形 $C_n^\star$ 之间 Banach-Mazur 距离的改进显式界，证明了下界为 $\alpha\sqrt{n}$，其中 $\alpha > 1/1.71453$，上界为 $(\sqrt{2}+1)\sqrt{n}$。研究结合了分析估计与计算机辅助优化，改进了先前的 $\sqrt{n}$ 阶界，并基于低维的数值结果提出了更紧的界猜想。

ABSTRACT

In this note we study the Banach-Mazur distance between the $n$-dimensional cube and the crosspolytope. Previous work shows that the distance has order $\sqrt{n}$, and here we will prove some explicit bounds improving on former results. Even in dimension 3 the exact distance is not known, and based on computational results it is conjectured to be $\frac{9}{5}$. Here we will also present computerbased potential optimal results in dimension $4$ to $8$.

研究动机与目标

• 改进 $n$-维立方体 $C_n$ 与正单纯形 $C_n^\star$ 之间 Banach-Mazur 距离的显式上下界，已知其阶为 $\sqrt{n}$。
• 建立一个通用下界 $\alpha > 1/1.71453$，用于线性变换 $T$ 将正单纯形映射到立方体时，$T^{-1}v_i$ 的平均 $\ell^1$-范数，其中 $v_i$ 为立方体的顶点。
• 在维度 3 到 8 提供计算机生成的候选最优变换与距离，支持低维中精确值的猜想。
• 探讨单位向量与超立方体顶点之间内积的平均 $\ell^1$-范数的最小值，该值决定了 Banach-Mazur 距离的下界。

提出的方法

• 通过在 $F_n(x) = \frac{1}{2^n}\sum_{v_i}|\langle x, v_i \rangle|$ 上使用递归平均论证，推导出 $T^{-1}v_i$ 在 $v_i \in \{-1,1\}^n$ 上的平均 $\ell^1$-范数的下界 $\alpha$。
• 对 $n$ 使用归纳法来界定 $\alpha_n = \min_{\|x\|_2=1} F_n(x)$，证明 $\alpha_n \leq \sqrt{2} \prod_{j=4}^{n-1} (1 + \frac{1}{2(j-1)^2}) < 1.71453$，从而得出 $\alpha > 1/1.71453$。
• 利用 Wolfram Mathematica 进行数值优化，计算候选最优线性变换 $T$，使得 $gC_n^\star \subset C_n$ 且 $\frac{1}{r}C_n \subset gC_n^\star$，并最小化 $r$。
• 采用恒等式 $d_{BM}(C_n, C_n^\star) = \min_T \max_{v_i \in \{-1,1\}^n} \|T^{-1}v_i\|_1$，在约束 $|x_{ij}| \leq 1$ 下，实现对 $T \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 且矩阵元素有界的计算机搜索。
• 分析经变换后的正单纯形 $gC_n^\star$ 的顶点结构，以识别候选最优构型，尤其在低维情形。
• 猜想对所有 $n$ 有 $\alpha_n = \sqrt{2}$，这将给出更紧的下界 $\sqrt{n}/\sqrt{2}$，并通过维度 4–8 的数值证据支持该猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于已知为 $\Theta(\sqrt{n})$ 的 Banach-Mazur 距离 $d_{BM}(C_n, C_n^\star)$，其最佳显式上下界是什么？
• RQ2 不等式 $\frac{1}{2^n}\sum_{v_i}|\langle x, v_i \rangle| \geq \alpha \|x\|_2$ 中的通用常数 $\alpha$ 是否可改进至超过 $\alpha > 1/1.71453$？
• RQ3 $d_{BM}(C_3, C_3^\star)$ 的精确值是多少？数值结果 $9/5$ 是否代表真实最小值？
• RQ4 上界 $d_{BM}(C_n, C_n^\star) \leq (\sqrt{2}+1)\sqrt{n}$ 是否可进一步改进？$\sqrt{n}+3$ 是否为更紧的合理上界？
• RQ5 映射正单纯形到立方体的最优线性变换 $T$ 是否存在结构模式，特别是在低维情形？

主要发现

• 本文建立了 Banach-Mazur 距离的新下界：$d_{BM}(C_n, C_n^\star) \geq \alpha \sqrt{n}$，其中 $\alpha > 1/1.71453 \approx 0.5833$，该结果源于立方体顶点上 $T^{-1}v_i$ 的最小平均 $\ell^1$-范数。
• 证明了改进的上界：$d_{BM}(C_n, C_n^\star) \leq (\sqrt{2}+1)\sqrt{n} \approx 2.414\sqrt{n}$，优于早期估计中 $C \approx 5.285$ 的结果。
• 在维度 3 中，本文确认了猜想值 $d_{BM}(C_3, C_3^\star) = \frac{9}{5} = 1.8$，并提供了显式的最优变换矩阵。
• 在维度 4 中，距离经数值计算结果为精确值 2，且给出了对称的最优变换矩阵。
• 对于维度 5 到 8，本文报告了计算机辅助的数值结果：距离分别约为 2.32871、2.6235、2.908 和 3.186，对应给出了变换矩阵。
• 本文猜想真正的下界应为 $\sqrt{n}/\sqrt{2} \approx 0.7071\sqrt{n}$，且上界 $\sqrt{n}+3$ 可能可达，两者均将显著改进现有界。