[论文解读] On the behavior of $p$-adic Euler $\ell$-functions

Min-Soo Kim|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

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一句话总结

本文利用库尔巴托-莱普尔多特的 $p$-进插值方法与沃森的 $p$-进积分方法，构造了一个 $p$-进欧拉 $\ell$-函数，证明其作为 $\mathbb{Z}_p$ 上的连续 $p$-进函数存在。关键结果表明 $\ell_{p,E}(1-n,\chi) = (1 - p^n\chi_n(p))\ell_E(-n,\chi_n)$，将 $p$-进 $\ell$-函数与广义欧拉数联系起来，实现了特殊值的 $p$-进插值。

ABSTRACT

In this paper we propose a construction of $p$-adic Euler $\ell$-function using Kubota-Leopoldt's approach and Washington's one. We also compute the derivative of $p$-adic Euler $\ell$-function at $s=0$ and the values of $p$-adic Euler $\ell$-function at positives integers.

研究动机与目标

• 构造一个 $p$-进欧拉 $\ell$-函数，使其在负整数处插值复欧拉 $\ell$-函数的特殊值。
• 利用 $p$-进积分与插值技术，将经典欧拉 $\ell$-函数推广至 $p$-进设置。
• 计算 $p$-进欧拉 $\ell$-函数在 $s=0$ 处的导数及其在正整数处的取值。
• 利用 $p$-进测度与特征和，建立 $\ell_{p,E}(s,\chi)$ 函数的 $p$-进连续性与插值性质。

提出的方法

• 使用 $\mathbb{Z}_p^\times$ 上的费米子 $p$-进测度 $\mu_{-1}$ 定义狄利克雷特征的 $p$-进积分。
• 应用沃森的 $p$-进积分表示，将广义欧拉数 $E_{n,\chi}$ 表示为 $\int_{X^*} \chi(x) x^n d\mu_{-1}(x)$。
• 定义 $p$-进欧拉 $\ell$-函数为 $\ell_{p,E}(s,\chi) = \int_{X^*} \chi(x) \langle x \rangle^{1-s} d\mu_{-1}(x)$，其中 $s \in \mathbb{Z}_p$。
• 利用恒等式 $\ell_{p,E}(1-n,\chi) = (1 - p^n \chi_n(p)) \ell_E(-n, \chi_n)$ 将 $p$-进与复 $\ell$-函数联系起来。
• 运用库默尔同余式与 $p$-进连续性，证明 $p$-进 $\ell$-函数的存在性与唯一性。
• 通过 $p$-进梅林变换的解释，展示特殊值的解析延拓与 $p$-进插值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个 $p$-进欧拉 $\ell$-函数，使其在 $n \geq 0$ 时插值 $\ell_E(-n, \chi_n)$？
• RQ2 如何利用 $p$-进积分与测度定义 $p$-进 $\ell$-函数？
• RQ3 该 $p$-进 $\ell$-函数在 $s = 0$ 处的导数值是多少？
• RQ4 该 $p$-进 $\ell$-函数在正整数处的取值是什么？
• RQ5 通过插值公式，$p$-进与复 $\ell$-函数之间有何关系？

主要发现

• 该 $p$-进欧拉 $\ell$-函数 $\ell_{p,E}(s,\chi)$ 存在且唯一定义为 $\mathbb{Z}_p$ 上的连续函数。
• 该函数满足对所有 $n \geq 1$ 有 $\ell_{p,E}(1-n,\chi) = (1 - p^n \chi_n(p)) \ell_E(-n, \chi_n)$，确立了 $p$-进插值。
• 通过 $p$-进积分技术，显式计算了 $\ell_{p,E}(s,\chi)$ 在 $s = 0$ 处的导数。
• 利用 $p$-进积分表示与特征和，推导出 $\ell_{p,E}(s,\chi)$ 在正整数处的取值。
• $p$-进绝对值下欧拉数满足 $|E_n|_p \leq 1$，确保其在 $\mathbb{Z}_p$ 中的整性。
• 该构造通过积分的 $p$-进连续性，确认了广义欧拉数的库默尔同余式。