[论文解读] On the Bias of Reed-Muller Codes over Odd Prime Fields

Paul Beame, Shayan Oveis Gharan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用 3

一句话总结

该论文证明了在奇素数域上，随机有界次数多项式以高概率表现出指数级小的偏差，推广了此前在 𝔽₂ 上的结果。关键贡献在于提出了瑞德-马uller生成矩阵子矩阵的一种新型极值秩性质，该性质使我们能够对奇素数域上的瑞德-马uller码的偏差和权重分布建立指数级尾部界限。

ABSTRACT

We study the bias of random bounded-degree polynomials over odd prime fields and show that, with probability exponentially close to 1, such polynomials have exponentially small bias. This also yields an exponential tail bound on the weight distribution of Reed-Muller codes over odd prime fields. These results generalize bounds of Ben-Eliezer, Hod, and Lovett who proved similar results over $\mathbb{F}_2$. A key to our bounds is the proof of a new precise extremal property for the rank of sub-matrices of the generator matrices of Reed-Muller codes over odd prime fields. This extremal property is a substantial extension of an extremal property shown by Keevash and Sudakov for the case of $\mathbb{F}_2$. Our exponential tail bounds on the bias can be used to derive exponential lower bounds on the time for space-bounded learning of bounded-degree polynomials from their evaluations over odd prime fields.

研究动机与目标

• 将已知的瑞德-马uller码在 𝔽₂ 上的偏差界扩展到奇素数域。
• 证明随机有界次数多项式在奇素数域上以高概率具有指数级小的偏差。
• 为奇素数域上的瑞德-马uller码的权重分布推导出指数级尾部界限。
• 证明奇素数域上瑞德-马uller生成矩阵子矩阵的新极值秩性质，推广此前在 𝔽₂ 上的结果。
• 将偏差界应用于推导出在奇素数域上学习有界次数多项式的时间或空间复杂度的指数级下界。

提出的方法

• 利用有限域上的特征和与指数和技术，分析奇素数域上多元多项式的偏差。
• 提出瑞德-马uller生成矩阵子矩阵的新型极值秩性质，将基尔什和苏达科夫在 𝔽₂ 上的结果推广到奇素数域。
• 通过多项式系数和生成矩阵子矩阵的递归分解，利用基于秩的论证方法来界定偏差。
• 应用推论 4.4 和引理 5.8，比较并界定不同系数配置下偏差值的差异。
• 对系数向量的结构进行分类讨论，证明在某些变换下偏差不会增加，从而导出极值秩性质。
• 将极值秩结果与特征和集中性结合，推导出随机多项式偏差的指数级尾部界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在奇素数域 𝔽_p 上，随机有界次数多项式的典型偏差是多少？
• RQ2 在 𝔽₂ 上观察到的瑞德-马uller码偏差的指数级尾部界限能否推广到奇素数域？
• RQ3 控制奇素数域上瑞德-马uller生成矩阵子矩阵秩的极值性质是什么？
• RQ4 瑞德-马uller码的偏差与其在奇素数域上的权重分布有何关系？
• RQ5 偏差集中性对在奇素数域上空间有界的有界次数多项式学习问题有何影响？

主要发现

• 以指数接近 1 的概率，奇素数域 𝔽_p 上的随机有界次数多项式的偏差至多为 2^{-Ω(n)}，其中常数依赖于次数和域大小。
• 偏差超过 2^{-c n} 的瑞德-马uller码字的比例至多为 2^{-Ω(m)}，其中 m = log |RM(d,n)|，推广了 Ben-Eliezer 等人在 𝔽₂ 上的结果。
• 证明了奇素数域上瑞德-马uller生成矩阵子矩阵的新极值秩性质，该性质在奇素数域上成立，并推广了基尔什和苏达科夫在 𝔽₂ 上的结果。
• 奇素数域上瑞德-马uller码的权重分布满足指数级尾部界限，意味着大多数码字都接近平衡。
• 偏差集中性结果意味着，从评估中学习有界次数多项式的时间或空间复杂度存在指数级下界。
• 分析表明，当 p > 2 时，对所有 j ∈ 𝔽_p^* 控制 |bias_j(f)| 是控制函数 f: 𝔽_p^n → 𝔽_p 不平衡性的充要条件。