[论文解读] On the birational geometry of varieties of maximal Albanese dimension

Christopher D. Hacon, Rita Pardini|ArXiv.org|May 9, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文利用通用消失定理、傅里叶- Mukai 变换以及线丛上的上同调条件，为最大 Albanese 维数的代数簇之间的态射建立了有效的双有理性判定准则。关键结果表明，若一个一般有限态射对所有扭线丛都诱导上同调群的同构，则该态射是双有理的，从而改进了 Kollàr 的猜想，并对满足 $P_3(X) = 2$ 且 $q(X) = \dim X$ 的代数簇进行了完整分类。该分类揭示，此类代数簇是阿贝尔簇上的双覆盖，分支位于一个椭圆纤维丛的两个不同纤维上。

ABSTRACT

We study the birational geometry of varieties of maximal Albanese dimension. In particular we discuss criteria for a generically finite morphism of varieties of maximal Albanese dimension to be birational; we give a new characterization of Theta divisors; we study the Albanese map and refine some of the results of Kollár; finally we use these results to birationally classify varieties with $P_3(X)=2$ and $q(X)=dim (X)$. Our method combines the generic vanishing theorems of Green and Lazarsfeld, the theory of Fourier Mukai transforms and the results of Kollàr on higher direct images of dualizing sheaves.

研究动机与目标

• 为最大 Albanese 维数的代数簇之间的态射提供有效的双有理性判定准则。
• 改进 Kollàr 关于满足 $P_2(X) = 1$ 且 $q(X) = \dim X$ 的代数簇双有理同构于阿贝尔簇的猜想。
• 通过其 Albanese 态射与双有理结构，对满足 $P_3(X) = 2$ 且 $q(X) = \dim X$ 的光滑射影代数簇进行分类。
• 通过高阶代数簇的判别条件，扩展关于 Albanese 映射满射性的有效结果。

提出的方法

• 应用 Green 和 Lazarsfeld 的通用消失定理以及傅里叶- Mukai 变换理论，分析典范层的上同调行为。
• 利用对所有 $P \in \operatorname{Pic}^0(Y)$ 都成立的同构条件 $H^i(Y, \omega_Y \otimes P) \to H^i(X, f_*\omega_X \otimes P)$，推导出 $f: X \to Y$ 的双有理性。
• 利用 $V^0(\omega_X)$ 的结构，即典范丛的非消失点集，对 Albanese 态射及其拉回进行分类。
• 分析 Albanese 映射的 Stein 分解，证明其像是阿贝尔簇上的双覆盖，且分支位于指定的分支点集上。
• 利用上同调中的对偶性与上积结构，验证在扭线丛作用下上同调群的同构性。
• 应用 Kollàr 和 Kawamata 关于 Albanese 映射及高阶代数簇的有界性结果，证明满射性与双有理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种上同调条件下，最大 Albanese 维数的代数簇之间的通态有限态射是双有理的？
• RQ2 满足 $P_3(X) = 2$ 且 $q(X) = \dim X$ 的光滑射影代数簇 $X$ 的精确双有理结构是什么？
• RQ3 能否有效改进或扩展关于 $P_2(X) = 1$ 且 $q(X) = \dim X$ 蕴含 $X$ 双有理同构于阿贝尔簇的猜想？
• RQ4 典范丛 $\omega_X$ 及其关于扭线丛的扭化物的上同调性质如何决定 $X$ 的双有理几何结构？
• RQ5 当 $P_2(X) = 1$ 或 $P_m(X) \leq 2m-3$（$m \geq 3$）时，Albanese 映射的结构是怎样的？

主要发现

• 若 $f: X \to Y$ 是两个 $n$ 维最大 Albanese 维数代数簇之间的通态有限态射，且对所有 $i \geq 0$ 和所有 $P \in \operatorname{Pic}^0(Y)$，诱导映射 $H^i(Y, \omega_Y \otimes P) \to H^i(X, f_*\omega_X \otimes P)$ 都是同构，则 $f$ 是双有理的。
• 在条件 $h^0(X, \omega_X \otimes \nu^*P) = 1$ 对所有非零 $P \in \operatorname{Pic}^0(A)$ 成立，且 $\nu^*$ 诱导 $H^0(\Omega^n)$ 上同构的前提下，态射 $\nu: X \to A$（$A$ 为 $n+1$ 维阿贝尔簇）是其像 $\bar{X}$ 上的双有理映射，且 $\bar{X}$ 是主极化的。
• 若 $f: X \to Y$ 是一般型的支配态射，$Y$ 为最大 Albanese 维数，且 $P_2(X) = P_2(Y)$，则 $f$ 是双有理的。
• 若 $P_2(X) = 1$ 或对某个 $m \geq 3$ 有 $0 < P_m(X) \leq 2m - 3$，则 Albanese 映射 $\operatorname{alb}_X: X \to \operatorname{Alb}(X)$ 是满射，这改进了 Kollàr 的早期结果。
• 若光滑射影代数簇 $X$ 满足 $P_3(X) = 2$ 且 $q(X) = \dim X$，则 $X$ 双有理同构于 $\operatorname{Alb}(X)$ 上的双覆盖，分支位于一个椭圆曲线 $E$ 上的纤维丛 $\phi: \operatorname{Alb}(X) \to E$ 的两个不同纤维的并集上，其结构由 $\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{\operatorname{Alb}(X)} \oplus \phi^*L^{-1} \otimes P)$ 给出，其中 $L$ 为度数 1 的线丛，$P$ 为不属于 $\phi^*\operatorname{Pic}^0(E)$ 的非平凡 2-挠线丛。
• 层 $\operatorname{alb}_{X*}\omega_X$ 同构于 $\mathcal{O}_{\operatorname{Alb}(X)} \oplus \tilde{L} \otimes P$，其中 $\tilde{L} = (f_*)^*L$，$L$ 为 $\operatorname{Alb}(Y)$ 上的主极化，从而确认了双覆盖结构。