[论文解读] On the Bloch-Kato conjecture for the Asai L-function

Tobias Berger|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文将Ribet的同余方法扩展至Bianchi模形式相关的Asai（张量诱导）伽罗瓦表示，构造了Bloch-Kato Selmer群中的非平凡元素。通过构造一个模素数同余于诱导表示的4维伽罗瓦表示，并利用正交-辛格Theta对应，证明了此类形式的存在性意味着Asai L函数近中心临界值的q-整除性，符合Bloch-Kato猜想。

ABSTRACT

Following Ribet's seminal 1976 paper there have been many results employing congruences between stable cuspforms and lifted forms to construct non-split extensions of Galois representations. We show how this strategy can be extended to construct elements in the Bloch-Kato Selmer groups of +/--Asai (or tensor induction) representations associated to Bianchi modular forms. We prove, in particular, how the Galois representation associated to a suitable low weight Siegel modular form produces elements in the Selmer group for exactly the Asai representation (+ or -) that is critical in the sense of Deligne. We further outline a strategy using an orthogonal-symplectic theta correspondence to prove the existence of such a Siegel modular form and explain why we expect this to be governed by the divisibility of the near-central critical value of the Asai L-function, in accordance with the Bloch-Kato conjecture.

研究动机与目标

• 为与Bianchi模形式相关的Asai L函数提供Bloch-Kato猜想的证据。
• 将此前仅用于张量积的经典同余方法扩展至Asai（张量诱导）表示。
• 构造具有正确奇偶性的Asai表示的Bloch-Kato Selmer群中的元素，该表示在Deligne意义下为临界。
• 概述一种利用正交-辛格Theta对应证明合适Siegel模形式存在的策略。
• 将Asai L函数近中心临界值的整除性与Selmer群的非零性联系起来，正如Bloch-Kato猜想所预测的那样。

提出的方法

• 在$E_\mathfrak{q}$上构造一个4维伽罗瓦表示$\tilde{R}$，使其在扭后自对偶，并且模$\mathfrak{q}$同余于诱导表示$\mathrm{ind}_K^\mathbf{Q}(\rho_\pi)$。
• 利用极化条件$\tilde{R}^\vee \cong \tilde{R} \otimes \Psi$将复共轭作用与表示的符号联系起来。
• 应用Frobenius互反性，证明若$\rho_\Pi \cong \mathrm{ind}_K^\mathbf{Q}(\rho_\pi)$，则$\rho_\Pi$必为不可约且满足所需同余条件。
• 利用$\mathrm{GO}(3,1)$与$\mathrm{GSp}_4$之间的Theta对应，将$\Pi(\chi, \pi)$中的自守表示$\Pi$实现为$\sigma = \pi \boxplus \chi$的提升。
• 运用Rallis内积公式与Petersson范数计算，将Theta提升的范数与临界值$L(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi))$联系起来。
• 采用Katsurada方法及Siegel Eisenstein级数的下拉公式，构造Theta提升与稳定形式之间的同余，确保存在一个不属于$\Pi(\chi, \pi)$的模形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将此前用于张量积的同余方法扩展至Bianchi模形式的Asai表示？
• RQ2 是否存在一个与Theta提升同余的Siegel模形式，可推出Asai L函数近中心临界值的$\mathfrak{q}$-整除性？
• RQ3 当$\mathfrak{q}$整除$L^{\mathrm{int}}(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi))$时，Asai表示$\mathrm{As}^{(-1)^k}(\rho_\pi)$的Selmer群是否非平凡？
• RQ4 能否利用正交-辛格Theta对应构造具有所需性质的此类Siegel模形式？
• RQ5 表示$\tilde{R}$的符号在确定Selmer群中复共轭作用的特征子空间时起什么作用？

主要发现

• 本文证明：若$\mathfrak{q} \mid L^{\mathrm{int}}(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi))$，则$\mathfrak{q}$整除Bloch-Kato Selmer群$H^1_f(\mathbf{Q}, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\rho_\pi)(1-k) \otimes E_\mathfrak{q}/\mathcal{O}_\mathfrak{q})$的阶。
• 所构造的伽罗瓦表示$\tilde{R}$模$\mathfrak{q}$为辛表示，确保了Selmer群中复共轭作用的正确特征子空间。
• 复共轭作用在$H^1_f(K, (\rho_\pi^\vee \otimes \rho_\pi^c) \otimes E_\mathfrak{q}/\mathcal{O}_\mathfrak{q})$上对应于$(-1)^k$-特征子空间，且同构于$\mathrm{As}^{(-1)^k}(\rho_\pi)$的Selmer群。
• Theta提升的Petersson范数被证明涉及$L(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi))$，将形式的算术性质与临界L值联系起来。
• 证明了存在一个与Theta提升同余（但不属于$\Pi(\chi, \pi)$）的Siegel模形式，其存在性由$L(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi))$的$\mathfrak{q}$-整除性所决定，符合Bloch-Kato猜想的要求。
• 本文在给定同余与不可约性假设下，确立了$\rho_\Pi \cong \mathrm{ind}_K^\mathbf{Q}(\rho_\pi)$，确认该伽罗瓦表示确实源自诱导。