[论文解读] On the block counting process and the fixation line of exchangeable coalescents

Florian Gaiser, Martin Möhle|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文分析了交换共祖过程中的块计数过程与固定线，建立了它们的Siegmund对偶性并推导了无穷小速率。证明了在n→∞极限下，块计数过程收敛于与单体频率相关的极限过程，通过对应对偶性，固定线也得到类似结果，对Dirichlet与Poisson-Dirichlet共祖过程进行了详细研究。

ABSTRACT

We study the block counting process and the fixation line of exchangeable coalescents. Formulas for the infinitesimal rates of both processes are provided. It is shown that the block counting process is Siegmund dual to the fixation line. For exchangeable coalescents restricted to a sample of size n and with dust we provide a convergence result for the block counting process as n tends to infinity. The associated limiting process is related to the frequencies of singletons of the coalescent. Via duality we obtain an analog convergence result for the fixation line of exchangeable coalescents with dust. The Dirichlet coalescent and the Poisson‐Dirichlet coalescent are studied in detail.

研究动机与目标

• 刻画交换共祖过程中块计数过程与固定线的无穷小速率。
• 在块计数过程与固定线之间建立Siegmund对偶关系。
• 研究样本大小n趋于无穷时，具有尘埃的交换共祖过程中块计数过程的渐近行为。
• 推导块计数过程的极限过程，并将其与共祖中的单体频率联系起来。
• 通过对应对偶性将收敛结果推广至固定线过程，并对Dirichlet与Poisson-Dirichlet共祖过程进行详细分析。

提出的方法

• 利用交换共祖过程的性质，推导块计数过程与固定线的无穷小生成元公式。
• 应用Siegmund对偶性将块计数过程与固定线联系起来，实现收敛结果的传递。
• 利用对偶关系，从块计数过程的收敛性推导出固定线过程的收敛性。
• 在大样本n的极限下分析块计数过程的渐近行为，识别出其极限为与单体频率相关的过程。
• 将该框架应用于Dirichlet与Poisson-Dirichlet共祖过程，明确刻画其块计数与固定线动态。

实验结果

研究问题

• RQ1 交换共祖过程中，块计数过程与固定线的无穷小速率是什么？
• RQ2 块计数过程与固定线通过何种对偶关系联系？
• RQ3 对于具有尘埃的交换共祖过程，当样本大小n趋于无穷时，块计数过程的渐近行为如何？
• RQ4 该极限过程如何与共祖中单体的频率相关联？
• RQ5 通过对应对偶性，固定线过程可获得哪些收敛结果，特别是在Dirichlet与Poisson-Dirichlet共祖模型中？

主要发现

• 块计数过程与固定线是Siegmund对偶的，为两个过程之间提供了深刻的结构性联系。
• 为交换共祖过程中的块计数过程与固定线，明确推导出其无穷小速率。
• 当n → ∞时，具有尘埃的交换共祖过程的块计数过程收敛于一个与共祖中单体频率相关的极限过程。
• 通过对应对偶性，在相同渐近框架下，固定线过程也收敛于分布。
• Dirichlet与Poisson-Dirichlet共祖过程在块计数与固定线过程中均表现出明确的极限行为。
• 块计数过程的极限过程通过其与共祖谱系中单体家庭个体比例的关联得以刻画。