[论文解读] On the blow-up for critical semilinear wave equations with damping in the scattering case

Kyouhei Wakasa, Borislav Yordanov|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文在 $ℝ^n$（$n \geq 2$）中建立了具有时变散射阻尼的临界半线性波动方程解的爆破结果，证明当幂次 $p$ 等于 Strauss 指数 $p_0(n)$ 时，小初值解在有限时间内爆破。该证明通过能量估计与关联线性化方程阻尼项的渐近分析，将先前针对次临界情形的结果推广至临界情形。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for semilinear wave equations with variable coefficients and time-dependent scattering damping in $\mathbf{R}^n$, where $n\geq 2$. It is expected that the critical exponent will be Strauss' number $p_0(n)$, which is also the one for semilinear wave equations without damping terms. Lai and Takamura (2018) have obtained the blow-up part, together with the upper bound of lifespan, in the sub-critical case $p

研究动机与目标

• 解决半线性波动方程在临界指数 $p = p_0(n)$ 处具有散射阻尼时有限时间爆破的开放问题。
• 将次临界情形（$p < p_0(n)$）的寿命上界估计推广至临界情形（$p = p_0(n)$）。
• 分析具有变系数和时变阻尼 $a(t)$（满足 $\int_0^\infty a(t)dt < \infty$）的阻尼波动方程基本解的行为。
• 建立线性化方程 $L_a y = \lambda^2 y$ 的基本解 $y_1(t,s;\lambda)$ 和 $y_2(t,s;\lambda)$ 的双边估计。
• 验证即使在散射阻尼下，爆破的临界指数仍为 Strauss 指数 $p_0(n)$，从而证实临界情形下的猜想。

提出的方法

• 利用恒等式 $(y_1' e^{A(t)})' = \lambda^2 y_1 e^{A(t)}$（其中 $A(t) = \int_0^t a(r)dr$）推导线性化阻尼波动方程基本解 $y_1(t,s;\lambda)$ 的双边估计。
• 通过恒等式 $\left(y_1 e^{A(t)} - \int_s^t a(r)y_1 e^{A(r)} dr\right)'' = \lambda^2 \left(y_1 e^{A(t)} - \int_s^t a(r)y_1 e^{A(r)} dr\right)$ 建立 $y_1(t,s;\lambda)$ 的下界。
• 利用 Wronskian 恒等式 $y_2 y_1' - y_2' y_1 = e^{A(s)-A(t)}$ 推导 $y_2(t,s;\lambda)$ 及其与 $y_1(t,s;\lambda)$ 比值的估计。
• 在 $\|a\|_{L^1} < \infty$ 条件下，将解与双曲函数 $\cosh\lambda(t-s)$ 和 $\sinh\lambda(t-s)/\lambda$ 进行渐近比较。
• 导出关键不等式 $e^{-\|a\|_{L^1}} \cosh\lambda(t-s) \leq y_1(t,s;\lambda) \leq \cosh\lambda(t-s)$，表明 $y_1$ 的行为在常数因子意义下类似于 $\cosh\lambda(t-s)$。
• 利用 $y_2(t,s;\lambda)$ 的导数恒等式，证明 $e^{\|a\|_{L^1}} \frac{\sinh\lambda(t-s)}{\lambda} \geq y_2(t,s;\lambda) \geq e^{-2\|a\|_{L^1}} \frac{\sinh\lambda(t-s)}{\lambda}$，从而确认 $y_2$ 的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有散射阻尼的半线性波动方程爆破的临界指数是否仍为 Strauss 指数 $p_0(n)$？
• RQ2 次临界情形（$p < p_0(n)$）的寿命上界估计是否可推广至临界情形（$p = p_0(n)$）？
• RQ3 当阻尼系数 $a(t)$ 在 $[0,\infty)$ 上可积时，阻尼波动方程的基本解如何渐近表现？
• RQ4 线性化方程 $L_a y = \lambda^2 y$ 的解 $y_1(t,s;\lambda)$ 和 $y_2(t,s;\lambda)$ 的精确双边估计是什么？
• RQ5 在次临界情形的寿命估计意义下，$p = p_0(n)$ 时的爆破结果是否具有最优性？

主要发现

• 对于初值问题，当 $p = p_0(n)$ 时，具有阻尼的波动方程解在小初值下于有限时间内爆破，从而确认了 Strauss 猜想的临界情形。
• 寿命 $T_\varepsilon$ 满足上界 $T_\varepsilon \leq C \varepsilon^{-2p(p-1)/\gamma(p,n)}$，该估计与次临界情形一致，提示其最优性。
• 基本解 $y_1(t,s;\lambda)$ 满足 $e^{-\|a\|_{L^1}} \cosh\lambda(t-s) \leq y_1(t,s;\lambda) \leq \cosh\lambda(t-s)$，表明其行为在乘法常数因子意义下类似于 $\cosh\lambda(t-s)$。
• 解 $y_2(t,s;\lambda)$ 满足 $e^{-2\|a\|_{L^1}} \frac{\sinh\lambda(t-s)}{\lambda} \leq y_2(t,s;\lambda) \leq e^{\|a\|_{L^1}} \frac{\sinh\lambda(t-s)}{\lambda}$，从而确认其在 $t-s \to \infty$ 时的渐近行为。
• Wronskian 恒等式 $y_2 y_1' - y_2' y_1 = e^{A(s)-A(t)}$ 在推导 $y_2/y_1$ 及 $y_2$ 本身估计中起关键作用。
• 分析结果表明，即使在散射阻尼下，爆破的临界指数仍为 $p_0(n)$，从而将无阻尼情形下的结果推广至阻尼情形。