[论文解读] On the Bott-Chern characteristic classes for coherent sheaves

Hua Qiang|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过凝聚层的超联络（superconnections）构造了复流形上相干层的Bott-Chern特征类，其中超联络作用于凝聚模，这是相干层有界导出范畴的dg提升（dg-enhancement）。该研究证明了在导出等价下不变性，并推广了经典的横越公式，通过Bott-Chern上同调将特征类从全纯向量丛推广至相干层。

ABSTRACT

Using the concept of a cohesive module defined by Block, we use the theory of superconnections in the sense of Quillen to construct natural superconnections on Hermitian cohesive modules. By the Chern-Weil construction, we obtain characteristic classes with values in Bott-Chern cohomology which refines the usual deRham cohomology. The main result of this paper shows that such characteristic classes are independent of the Hermitian metric and only dependent on the homotopy class of the cohesive module in the homotopy category. This extends the Bott-Chern cohomology to the bounded derived category of complexes of analytic sheaves with coherent cohomology. We also constructed secondary Bott-Chern characteristic forms and the main technical theorem proves that they are well defined.

研究动机与目标

• 将Bott-Chern特征类从全纯向量丛推广至复流形上的相干层。
• 通过凝聚模的dg提升，为相干层有界导出范畴中的对象定义特征类。
• 将Bott-Chern与Donaldson的双重横越公式推广至凝聚模的设定。
• 证明这些类在导出等价下不变，确保其对相干层的良定义性。
• 建立Hermitian凝聚模上超联络的Chern-Weil型构造，并将其与Bott-Chern上同调联系起来。

提出的方法

• 在满足与Hermitian结构相容条件的Hermitian凝聚模上，构造唯一的酉Chern超联络。
• 利用在凝聚模的自同态取值的微分形式上的奇异分次，定义奇异次数为零的曲率。
• 应用超联络的Chern-Weil理论，在Bott-Chern上同调中生成特征形式。
• 推导一个包含Hermitian度量空间上Maurer-Cartan形式的通用Bott-Chern横越公式。
• 通过曲率与度量变化，建立类似Donaldson的横越公式，用于次级特征类。
• 通过分析映射锥并使用正则化方法消除横越积分中的奇点，证明其在同伦等价下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bott-Chern特征类能否从全纯向量丛推广至非射影复流形上的相干层？
• RQ2 如何利用凝聚模上的超联络在Bott-Chern上同调中定义特征类？
• RQ3 这些特征类是否与凝聚模上Hermitian度量的选择无关？
• RQ4 这些类在导出等价下（即凝聚模的dg范畴中的同伦等价）是否保持不变？
• RQ5 Bott-Chern与Donaldson的经典双重横越公式能否推广至凝聚模的设定？

主要发现

• 本文在Hermitian凝聚模上构造了唯一的酉Chern超联络，确保与Hermitian结构相容。
• 通过超联络曲率定义的特征形式取值于Bott-Chern上同调，且与Hermitian度量无关，此结论由双重横越公式所证实。
• Bott-Chern横越公式推广了经典结果，表明特征形式的微分由包含Maurer-Cartan形式的$\bar{\nabla} \nabla$-精确项给出。
• 建立了类似Donaldson的横越公式，用于次级特征类，表明其在Bott-Chern上同调中良定义。
• 同伦等价的映射锥的特征类在Bott-Chern上同调中为零，从而证明了在导出等价下的不变性。
• 主要结果表明，相干层的Bott-Chern特征类是良定义的，与凝聚模代表元及Hermitian结构的选择无关。