[论文解读] On the Brezis-Nirenberg type critical problem for nonlinear Choquard equation

Fashun Gao, Minbo Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 29被引用 47

一句话总结

本文建立了具有Brezis-Nirenberg型临界非线性的非线性Choquard方程解的存在性与非存在性结果，其中非局部项源于Riesz势。通过变分方法与Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，作者证明了当参数λ为正且小于第一特征值时，存在非平凡解；并在严格星形区域下证明了当λ < 0时不存在非平凡解。

ABSTRACT

We establish some existence results for the Brezis-Nirenberg type problem of the nonlinear Choquard equation $$-Δu =\left(\int_Ω\frac{|u|^{2_μ^{\ast}}}{|x-y|^μ}dy ight)|u|^{2_μ^{\ast}-2}u+λu\4.14mm\mbox{in}\1.14mm Ω, $$ where $Ω$ is a bounded domain of $\mathbb{R}^N$, with Lipschitz boundary, $λ$ is a real parameter, $N\geq3$, $2_μ^{\ast}=(2N-μ)/(N-2)$ is the critical exponent in the sense of the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality.

研究动机与目标

• 研究具有Brezis-Nirenberg型临界非线性的非线性Choquard方程的非平凡解的存在性。
• 将经典的Brezis-Nirenberg结果推广至由Riesz势控制的非局部情形。
• 分析参数λ在解的存在性与非存在性中的作用，特别是λ < 0的情形。
• 通过bootstrap方法与Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，建立解的正则性与可积性性质。
• 为非局部Choquard方程证明一个Pohožaev型恒等式，以在区域具有几何条件时推导非存在性结果。

提出的方法

• 采用变分框架，通过Sobolev空间$ H_0^1(\bar{\Omega}) $中的相关能量泛函研究该问题。
• 应用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，确保非局部项$ \int_{\Omega} \frac{|u|^{2_{\mu}^*}}{|x-y|^\mu} dy $的适定性。
• 利用由HLS不等式导出的临界指数$ 2_{\mu}^* = \frac{2N - \mu}{N - 2} $来定义非线性项。
• 应用集中紧致性原理与山路引理，证明当$ \lambda \in (0, \lambda_1) $时存在非平凡解。
• 通过分部积分与向量场方法推导Pohožaev型恒等式，以分析解的结构。
• 利用Pohožaev恒等式证明：当$ \lambda < 0 $且$ \Omega $关于原点严格星形时，不存在非平凡解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非线性Choquard方程的Brezis-Nirenberg型问题允许存在非平凡解？
• RQ2 Choquard非线性的非局部性相较于局部临界指数情形，如何影响解的存在性与正则性？
• RQ3 参数$ \lambda $在决定解的存在性或非存在性中起什么作用？
• RQ4 能否推导并应用Pohožaev型恒等式，以在星形区域中排除负$ \lambda $时的解？
• RQ5 区域$ \Omega $的几何结构，特别是严格星形性，如何影响该问题的可解性？

主要发现

• 当$ N \geq 3 $，$ \lambda \in (0, \lambda_1) $，且$ \Omega $为有界Lipschitz区域时，该问题存在非平凡解。
• 当$ \lambda < 0 $且$ \Omega $关于原点严格星形时，不存在非平凡解。
• 临界指数$ 2_{\mu}^* = \frac{2N - \mu}{N - 2} $自然源于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，并控制非线性项。
• 解属于$ W_{\text{loc}}^{2,p}(\Omega) $对所有$ p \geq 1 $成立，通过bootstrap方法建立。
• Pohožaev恒等式导出$ \int_{\partial\Omega} (x \cdot \nu) |\nabla u|^2 ds = 2\lambda \int_\Omega |u|^2 dx $，当$ \lambda < 0 $时导致矛盾。
• 非局部项$ \int_{\Omega} \frac{|u|^{2_{\mu}^*}}{|x-y|^\mu} dy $属于$ L^\infty(\Omega) $，确保了右边的正则性。