[论文解读] On the broken ray transform

Joonas Ilmavirta|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文研究了断裂射线变换的单射性，这是X射线变换的一种推广，其中射线在边界子集上发生反射。通过四种方法——球对称中的直接计算、平坦反射器的反射论证、边界泰勒级数重构以及佩斯托夫能量恒等式——该文在多种几何结构中建立了单射性，包括具有凸障碍物的黎曼流形，并将结果推广至周期性断裂射线，应用于反问题与谱几何。

ABSTRACT

This PhD thesis studies the broken ray transform, a generalization of the geodesic X-ray transform where geodesics are replaced with broken rays that reflect on a part of the boundary. The fundamental question is whether this transform is injective. We employ four different methods to approach this question, and each of them gives interesting results. Direct calculation can be used in a ball, where the geometry is particularly simple. If the reflecting part of the boundary is (piecewise) flat, a reflection argument can be used to reduce the problem to the usual X-ray transform. In some geometries one can use broken rays near the boundary to determine the values of the unknown function at the reflector, and even construct its Taylor series. One can also use energy estimates -- which in this context are known as Pestov identities -- to show injectivity in the presence of one convex reflecting obstacle. Many of these methods work also on Riemannian manifolds. We also discuss the periodic broken ray transform, where the integrals are taken over periodic broken rays. The broken ray transform and its periodic version have applications in other inverse problems, including Calderón's problem and problems related to spectral geometry. A more detailed abstract can be found in the PDF file. This version only contains the introductory parts of the thesis. The full thesis also contains five articles.

研究动机与目标

• 确定断裂射线变换是否单射，即函数能否从其在断裂射线上的积分唯一重构。
• 将X射线层析成像理论推广至因反射边界导致部分数据缺失的情形。
• 探索断裂射线变换与其他反问题（如卡勒东问题和边界刚性问题）之间的联系。
• 研究周期性断裂射线变换及其在谱几何中的作用。
• 为在几何复杂区域中从断裂射线数据重构函数提供一个全面的框架。

提出的方法

• 在球对称几何中通过直接计算，利用对称性证明断裂射线变换的单射性。
• 使用反射论证，当反射边界为（分段）平坦时，将断裂射线问题约化为经典X射线变换，从而通过已知结果确保单射性。
• 通过靠近反射器的断裂射线实现边界重构，以确定函数值并构造泰勒级数展开。
• 采用佩斯托夫恒等式（能量估计）证明在黎曼流形上存在单个凸反射障碍物时断裂射线变换的单射性。
• 将方法推广至黎曼流形，表明其适用性不仅限于欧氏空间。
• 分析周期性断裂射线变换，其中积分沿闭合断裂射线轨迹进行，应用于谱几何与反问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有反射边界子集的区域中，断裂射线变换是否单射？
• RQ2 在几何条件如平坦反射边界下，断裂射线变换能否约化为经典X射线变换？
• RQ3 在多大程度上可从断裂射线变换重构函数在反射边界上的取值？
• RQ4 周期性断裂射线变换是否具有单射性，其在谱几何中具有何种含义？
• RQ5 断裂射线变换如何作为几何反问题（如边界刚性或卡勒东问题）的线性化形式出现？

主要发现

• 通过利用球对称性进行直接计算，证明了在单位球中断裂射线变换是单射的。
• 当反射边界为（分段）平坦时，断裂射线变换约化为经典X射线变换，从而通过已知结果确保单射性。
• 在靠近反射器处，断裂射线可用于重构未知函数的泰勒级数，实现局部重构。
• 佩斯托夫能量恒等式证明了在黎曼流形上存在单个凸反射障碍物时断裂射线变换的单射性。
• 周期性断裂射线变换一般不具有单射性；反例存在，例如在欧氏单位圆盘上对光滑紧支集函数的情形。
• 断裂射线变换作为带反射的边界距离函数的线性化形式出现，将其与黎曼几何和偏微分方程中的反问题联系起来。