[论文解读] On the Burnside-Brauer-Steinberg theorem

Benjamin Steinberg|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了有限幺半群上布劳尔对伯恩赛德定理的首次已知类比，证明若一个有限幺半群的忠实表示的特征标取 r 个不同的值，则所有不可约表示都会作为前 r 个张量幂中的合成因子出现。此外，通过利用算子的特征多项式，本文还证明了对对称幂的类似界，将经典群表示理论的结果推广至幺半群。

ABSTRACT

A well-known theorem of Burnside says that if $ρ$ is a faithful representation of a finite group $G$ over a field of characteristic $0$, then every irreducible representation of $G$ appears as a constituent of a tensor power of $ρ$. In 1962, R. Steinberg gave a module theoretic proof that simultaneously removed the constraint on the characteristic, and allowed the group to be replaced by a monoid. Brauer subsequently simplified Burnside's proof and, moreover, showed that if the character of $ρ$ takes on $r$ distinct values, then the first $r$ tensor powers of $ρ$ already contain amongst them all of the irreducible representations of $G$ as constituents. In this note we prove the analogue of Brauer's result for finite monoids. We also prove the corresponding result for the symmetric powers of a faithful representation.

研究动机与目标

• 将布劳尔对有限群的伯恩赛德定理的改进从有限群推广至有限幺半群。
• 确定实现有限幺半群所有不可约表示所需的张量幂数目的统一上界。
• 在表示矩阵的特征多项式不同数量的术语下，为忠实表示的对称幂建立类似的上界。
• 证明对称幂生成的最小忠实模不能仅由不同特征多项式的数量来界定，而群的情形下可以。

提出的方法

• 使用幺半群代数中的本原幂等元来刻画不可约表示何时作为合成因子出现。
• 应用对称幂特征标的生成函数，推导出分母次数有界的有理函数。
• 采用类似莫利恩的生成函数，将对称幂的特征标与算子的特征多项式关联起来。
• 利用有限幺半群不可约表示的结构理论，特别是顶点幂等元的作用。
• 使用牛顿恒等式将特征标值与特征多项式关联，从而对不同多项式的数量建立上界。
• 利用在幺半群的幂等元顶点上，忠实表示的特征标非零这一事实，以确保生成函数非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 布劳尔对实现所有不可约表示所需张量幂数目的上界，能否从有限群推广至有限幺半群？
• RQ2 是否存在一个统一上界，使得实现有限幺半群所有不可约表示所需的对称幂数目，仅依赖于表示矩阵的特征多项式不同数量？
• RQ3 使得直和 ⊕_{i=0}^k S^i(V) 成为忠实 KM-模的最小 k，是否仅依赖于不同特征多项式的数量，还是需要额外的不变量？
• RQ4 幺半群特征标理论中正交性失效，如何影响布劳尔原始特征标方法的适用性？

主要发现

• 设 M 为有限幺半群，ρ 为域上特征为 0 的忠实表示。若 ρ 的特征标取 r 个不同的值，则 KM 的每个不可约表示均作为前 r 个张量幂 V^{igotimes i}（i = 0, ..., r-1）中的合成因子出现。
• 实现所有不可约表示所需的对称幂数目受 dim(V) · s 限制，其中 s 为 M 中元素 m 对应的算子 ρ(m) 的不同特征多项式数目。
• 由本原幂等元的像的对称幂维数的生成函数是非零有理函数，其分母次数至多为 r，从而保证前 r 项中存在非零系数。
• 张量幂的上界 r 是紧的，即其仅依赖于不同特征标值的数量，而不依赖于幺半群的大小。
• 使得 ⊕_{i=0}^k S^i(V) 成为忠实 KM-模的最小 k 不能仅由 dim(V) 和不同特征多项式数量来界定，而群的情形下可以。
• 该证明依赖于群代数中顶点幂等元系数的非零性，这确保了生成函数非零，并满足一个阶数为 r 的线性递推关系。