[论文解读] On the Canonical Structure of the De Donder-Weyl Covariant Hamiltonian Formulation of Field Theory I. Graded Poisson brackets and equations of motion

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Dec 20, 1993

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 8被引用 24

一句话总结

本文为德·唐德-外尔（De Donder-Weyl, DW）协变哈密顿场论发展了一套分级泊松括号形式体系，将经典泊松括号推广至有限维相空间上的微分形式。研究表明，DW哈密顿方程可用这些括号表示，并确立了哈密顿形式空间构成格伦斯坦哈伯代数（Gerstenhaber algebra），为协变场论的量子化奠定了基础。

ABSTRACT

The analogue of the Poisson bracket for the De Donder-Weyl (DW) Hamiltonian formulation of field theory is proposed. We start from the Hamilton- Poincaré-Cartan (HPC) form of the multidimensional variational calculus and define the bracket on the differential forms over the space-time (=horizontal forms). This bracket is related to the Schouten-Nijenhuis bracket of the multivector fields which are associated with the horizontal forms by means of the "polysymplectic form". The latter is given by the HPC form and generalizes the symplectic form to field theory. We point out that the algebra of forms with respect to our Poisson bracket and the exterior product has the structure of the Gerstenhaber graded algebra. It is shown that the Poisson bracket with the DW Hamiltonian function generates the exterior differential thus leading to the bracket representation of the DW Hamiltonian field equations. Few illustrative examples are also presented.

研究动机与目标

• 将泊松括号概念推广至有限维、显式协变的德·唐德-外尔哈密顿场论形式体系。
• 在哈密顿形式空间上建立一致的代数结构——特别是格伦斯坦哈伯分级代数。
• 用涉及微分形式与多向量场的广义泊松括号表达DW哈密顿场方程。
• 阐明DW形式体系与场论中传统等时泊松括号形式体系之间的关系。
• 为未来基于此有限维、协变正则框架的场论量子化程序奠定基础。

提出的方法

• 形式体系基于多维变分法中的庞加莱-嘉当形式，该形式定义了一个( n+1 )-形式的多辛结构，作为辛形式的协变类比。
• 动力学变量被推广为不同次数的微分形式，哈密顿向量场被多向量场取代，广义泊松括号通过施陶芬-尼吉恩斯括号（Schouten-Nijenhuis bracket）定义。
• 括号运算作用于不同次数的微分形式之间，任一形式与n-形式 $ H\widetilde{\text{vol}} $ 的泊松括号结果为其外导数，从而生成运动方程。
• 哈密顿形式空间配备外积与广义泊松括号，构成格伦斯坦哈伯代数，其成立性通过代数封闭性与分级雅可比恒等式得到证明。
• 将该形式体系应用于简单场论模型，以说明其力学行为并验证与已知结果的一致性。
• 通过限制于类空超曲面，分析其与传统瞬时哈密顿形式体系的联系，表明在极限情况下与等时泊松括号一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将传统泊松括号概念推广，以在场论中保持显式时空协变性？
• RQ2 德·唐德-外尔形式体系中哈密顿形式空间背后的代数结构是什么？
• RQ3 能否用涉及微分形式的广义泊松括号重新表述DW哈密顿场方程？
• RQ4 所提出的括号形式体系与传统哈密顿方法中的标准等时泊松括号有何关系？
• RQ5 该形式体系的几何与代数基础为何种未来协变场论量子化提供可能？

主要发现

• 通过关联多向量场的施陶芬-尼吉恩斯括号定义的、作用于不同次数微分形式之间的广义泊松括号，为泊松括号提供了一致的协变推广。
• 配备外积与广义泊松括号的哈密顿形式空间构成格伦斯坦哈伯分级代数，这是未来可能实现量子化的关键代数结构。
• 任一哈密顿形式与n-形式 $ H\widetilde{\text{vol}} $ 的泊松括号生成其外导数，从而以括号形式重现DW哈密顿场方程。
• 在限制于类空超曲面 $ \Sigma $ 的极限情况下，该形式体系重现标准等时泊松括号，确立了与传统场论的一致性。
• DW形式体系的代数结构与BRST及反括号形式体系存在深刻类比，提示BRST对称性在场论中可能具有几何起源。
• 该框架与已知模型保持一致，包括经典场论与玻色弦理论，为无限维瞬时相空间方法提供了一种有限维、协变的替代方案。