[论文解读] On the Capacity of Secure Distributed Matrix Multiplication

Wei-Ting Chang, Ravi Tandon|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2018

Cryptography and Data Security参考文献 12被引用 31

一句话总结

本文研究了在两种模型下的信息论安全分布式矩阵乘法：单边模型（其中矩阵 B 公开，A 秘密）和完全安全模型（其中 A 和 B 均秘密）。针对单边模型，提出了一种基于秘密共享的方案，达到容量 (N−ℓ)/N；针对完全安全模型，提出了一种新颖的基于编码的方案，结合对齐秘密共享，提升了通信效率，超越了先前的界限。

ABSTRACT

Matrix multiplication is one of the key operations in various engineering applications. Outsourcing large-scale matrix multiplication tasks to multiple distributed servers or cloud is desirable to speed up computation. However, security becomes an issue when these servers are untrustworthy. In this paper, we study the problem of secure distributed matrix multiplication from distributed untrustworthy servers. This problem falls in the category of secure function computation and has received significant attention in the cryptography community. However, the fundamental limits of information-theoretically secure matrix multiplication remain an open problem. We focus on information-theoretically secure distributed matrix multiplication with the goal of characterizing the minimum communication overhead. The capacity of secure matrix multiplication is defined as the maximum possible ratio of the desired information and the total communication received from $N$ distributed servers. In particular, we study the following two models where we want to multiply two matrices $A\in\mathbb{F}^{m imes n}$ and $B\in\mathbb{F}^{n imes p}$: $(a)$ one-sided secure matrix multiplication with $\ell$ colluding servers, in which $B$ is a public matrix available at all servers and $A$ is a private matrix. $(b)$ fully secure matrix multiplication with $\ell$ colluding servers, in which both $A$ and $B$ are private matrices. The goal is to securely multiply $A$ and $B$ when any $\ell$ servers can collude. For model $(a)$, we characterize the capacity as $C_{ ext{one-sided}}^{(\ell)}=(N-\ell)/N$ by providing a secure matrix multiplication scheme and a matching converse. For model $(b)$, we propose a novel scheme that lower bounds the capacity, i.e., $C_{ ext{fully}}^{(\ell)}\geq (\lceil \sqrt{N}-\ell ceil)^2/(\lceil \sqrt{N}-\ell ceil+\ell)^2$.

研究动机与目标

• 刻画在不可信服务器环境下信息论安全分布式矩阵乘法的根本极限。
• 解决在确保任意 ℓ 个共谋服务器无法获取关于私有矩阵 A 和 B 的任何信息的前提下，最小化通信开销的问题。
• 在单边和完全安全矩阵乘法模型中，设计实现高通信效率（速率）的方案。
• 通过引入对齐秘密共享，改进现有方案，以减少完全安全环境下冗余通信。
• 为单边模型建立反证证明，证明所提方案的最优性。

提出的方法

• 对于单边模型，方案使用 Shamir 的秘密共享将矩阵 A 编码为分布在 N 个服务器上的份额，其中 B 公开可用。
• 每个服务器基于其 A 的份额和公开的矩阵 B 计算线性组合，确保单个服务器无法重构 A。
• 用户从所有 N 个服务器收集响应，并通过多项式插值恢复 AB，同时确保任意 ℓ 个共谋服务器无法获得关于 A 的任何信息。
• 对于完全安全模型，方案将 A 和 B 分别划分为子矩阵，并使用具有特定选择次数的多项式编码，以对齐不需要的项。
• 编码确保只有期望的乘积 A_j B_j' 作为不同次数的系数出现在评估多项式中。
• 通过为不同项（例如 A_j B_j'、A_j K_B、K_A B_j'、K_A K_B）分配不同次数，应用对齐秘密共享，使得仅通过插值可恢复期望项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当任意 ℓ 个服务器可能共谋时，单边安全分布式矩阵乘法的最大可实现速率（容量）是多少？
• RQ2 能否建立反证，证明所提方案在单边模型中为最优？
• RQ3 在 ℓ 个共谋服务器存在的情况下，完全安全分布式矩阵乘法的最佳可实现速率是多少？
• RQ4 通过在编码过程中对齐不需要的项，能否减少完全安全模型中的通信开销？
• RQ5 在完全安全模型中，可实现速率与理论上限之间是否存在差距？

主要发现

• 在单边安全矩阵乘法模型中，容量恰好为 (N−ℓ)/N，且通过基于 Shamir 秘密共享的方案与匹配的信息论反证得以实现。
• 所提单边模型方案具有信息论安全性，通过证明任意 ℓ 个共谋服务器视图的联合微分熵为零得以验证。
• 在完全安全模型中，所提方案实现了至少 (⌈√N−ℓ⌉)² / (⌈√N−ℓ⌉+ℓ)² 的速率，优于先前方案。
• 以 N=8 且 ℓ=0 为例，对齐秘密共享技术将速率从 4/9 提升至 1/2，通过减少随机矩阵带来的干扰。
• 对齐秘密共享带来的改进表明，对不需要项进行结构化对齐可显著降低通信开销。
• 本文未解决完全安全模型的反证（上界）推导问题，提示未来研究的潜在方向。