[论文解读] On the Capacity of Single-Server Multi-Message Private Information Retrieval with Side Information

Anoosheh Heidarzadeh, Brenden Garcia+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2018

Cryptography and Data Security参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文表征了单服务器多消息私有信息检索（PIR-SI）中带外信息的容量，表明当所需消息数 D 超过外信息大小 M 时，容量为 D/(K−M)，可通过广义里德-所罗门码实现。当 D ≤ M 时，新提出的广义划分与编码（GPC）方案实现了更高的容量，表明在此情形下仅保护请求消息比同时保护请求和外信息更经济。

ABSTRACT

We study Private Information Retrieval with Side Information (PIR-SI) in the single-server multi-message setting. In this setting, a user wants to download $D$ messages from a database of $K\geq D$ messages, stored on a single server, without revealing any information about the identities of the demanded messages to the server. The goal of the user is to achieve information-theoretic privacy by leveraging the side information about the database. The side information consists of a random subset of $M$ messages in the database which could have been obtained in advance from other users or from previous interactions with the server. The identities of the messages forming the side information are initially unknown to the server. Our goal is to characterize the capacity of this setting, i.e., the maximum achievable download rate. In our previous work, we have established the PIR-SI capacity for the special case in which the user wants a single message, i.e., $D=1$ and showed that the capacity can be achieved through the Partition and Code (PC) scheme. In this paper, we focus on the case when the user wants multiple messages, i.e., $D>1$. Our first result is that if the user wants more messages than what they have as side information, i.e., $D>M$, then the capacity is $\frac{D}{K-M}$, and it can be achieved using a scheme based on the Generalized Reed-Solomon (GRS) codes. In this case, the user must learn all the messages in the database in order to obtain the desired messages. Our second result shows that this may not be necessary when $D\leq M$, and the capacity in this case can be higher. We present a lower bound on the capacity based on an achievability scheme which we call Generalized Partition and Code (GPC).

研究动机与目标

• 表征单服务器多消息私有信息检索带外信息（PIR-SI）的信息论容量，其中用户从包含 K 个消息的数据库中检索 D 个消息，同时保护所请求消息的隐私。
• 研究当 D > M 时，用户是否必须学习所有消息才能实现隐私，以及在多消息场景下外信息是否能降低下载成本。
• 开发新方案，实现比朴素方法更高的下载速率，尤其在所需消息数 D 小于或等于外信息大小 M 时。
• 通过组合数学和信息论论证建立容量的理论界限，并证明所提方案的隐私性和正确性。

提出的方法

• 针对 D > M 的情形，提出基于广义里德-所罗门（GRS）码的方案，用户通过下载 K−M 个符号实现隐私，利用有限域上的编码技术。
• 引入广义划分与编码（GPC）方案，作为先前工作中划分与编码方案的推广，使在 D ≤ M 时实现高效检索成为可能。
• 使用组合论证计算查询与外信息模式的概率，确保所有可能的请求集合均匀分布。
• 应用贝叶斯法则与条件概率，证明在给定查询 Q 的条件下，任一特定请求集合 W 的概率均匀分布，从而满足信息论隐私要求。
• 将 GPC 方案与基于 GRS 码的改进型最大距离可分（MDS）码方案结合，以在 D ≤ M 的情形下实现更优速率。
• 采用结构化查询设计，用户对索引进行划分，并使用对称分布，确保服务器无法推断所请求的消息。

实验结果

研究问题

• RQ1 当所需消息数 D 超过外信息大小 M 时，单服务器多消息 PIR-SI 的信息论容量是多少？
• RQ2 当 D > M 时，用户能否在不下载整个数据库的情况下实现私有检索？若能，最小下载速率是多少？
• RQ3 当 D ≤ M 时，容量如何变化？外信息能否被利用以实现高于单消息情形的速率？
• RQ4 是否可能设计一种方案，仅保护所请求消息的隐私，同时最小化下载成本，特别是在 D ≤ M 时？
• RQ5 在多消息 PIR-SI 设置中，外信息大小 M 与可实现下载速率之间的根本权衡是什么？

主要发现

• 当 D > M 时，单服务器多消息 PIR-SI 问题的容量恰好为 D/(K−M)，该界是紧致且可通过基于 GRS 码的方案实现。
• 在 D > M 的情形下，下载成本 K−M 与单消息 PIR-SI 情形相同，即保护请求本身与同时保护请求和外信息的成本相当。
• 当 D ≤ M 时，容量严格高于 D/(K−M)，并通过广义划分与编码（GPC）方案建立了容量的下界。
• GPC 方案通过确保在给定查询 Q 的条件下，任意请求集合 W 的概率均匀分布，从而实现隐私，且该性质与外信息结构无关。
• 隐私证明依赖于对称概率分布与组合计数，表明条件概率 P(W|Q) 在所有 K 个消息的 D 元子集上均匀分布。
• 结果表明，当用户所需消息数少于外信息大小时，外信息可显著降低下载成本，使多消息 PIR-SI 比以往认为的更高效。