[论文解读] On the Cauchy problem for two dimensional incompressible viscoelastic flows

Xianpeng Hu, Fanghua Lin|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文建立了二维不可压缩Oldroyd粘弹性流体模型在大初值条件下的Leray-Hopf型弱解全局时间存在性。通过引入关于Cauchy-Green张量 $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ 的空间-时间 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-范数的新型先验估计，作者避免了由流场映射形变引起的能量集中，并通过有效粘性通量控制振荡，将DiPerna-Lions紧致性方法推广至该双曲-抛物耦合系统。

ABSTRACT

We study the large-data Cauchy problem for two dimensional Oldroyd model of incompressible viscoelastic fluids. We prove the global-in-time existence of the Leray-Hopf type weak solutions in the physical energy space. Our method relies on a new $ extit{a priori}$ estimate on the space-time norm in $L^{\f32}_{loc}$ of the Cauchy-Green strain tensor $τ=\F\F^ op$, or equivalently the $L^3_{loc}$ norm of the Jacobian of the flow map $\F$. It allows us to rule out possible concentrations of the energy due to deformations associated with the flow maps. Following the general compactness arguments due to DiPerna and Lions (\cite{DL}, \cite{FNP}, \cite{PL}), and using the so-called extit{effective viscous flux}, $\mathcal{G}$, which was introduced in our previous work \cite{HL}, we are able to control the possible oscillations of deformation gradients as well.

研究动机与目标

• 建立二维不可压缩Oldroyd粘弹性模型在大初值条件下的全局时间弱解存在性。
• 克服粘弹性系统中由于流场映射形变导致的能量集中问题。
• 通过有效粘性通量 $ \mathcal{G} $ 控制形变梯度中的可能振荡，将DiPerna-Lions理论推广至该耦合双曲-抛物系统。
• 推导Cauchy-Green应变张量 $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ 的 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-范数的新先验估计，该估计可控制能量集中并实现紧致性。

提出的方法

• 引入关于空间-时间 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-范数的Cauchy-Green张量 $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ 的新先验估计，其等价于流场映射 $ \mathbf{F} $ 的雅可比行列式的 $ L^3_{\text{loc}} $-范数，以防止由形变引起的能量集中。
• 应用先前工作中引入的有效粘性通量 $ \mathcal{G} $，以控制形变梯度 $ \mathbf{F} $ 中的振荡，从而在弱解构造中实现紧致性。
• 利用恒等式 $ \text{div}\, \mathbf{F}^T = 0 $ 和 $ \det \mathbf{F} = 1 $ 推导形变张量的结构估计，特别是针对分量 $ E_{11}-E_{22} $ 和 $ E_{12}+E_{21} $。
• 推导线性组合 $ E_{11}-E_{22} + \sqrt{2}(E_{12}+E_{21}) $ 和 $ E_{12}+E_{21} - \sqrt{2}(E_{11}-E_{22}) $ 的演化方程，并通过能量型估计获得其 $ L^\infty $ 有界性。
• 采用应力张量的分解方法，并利用 $ \det E $ 的二次结构，将 $ \|E(t)\|_{L^\infty} $ 控制在 $ \mathcal{G}_j $ 的范围内，确保形变梯度的统一控制。
• 借助新估计的DiPerna-Lions紧致性框架，在Galerkin逼近中取极限，从而得到全局弱解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏小量假设的前提下，能否为二维不可压缩Oldroyd模型在大初值条件下构造全局时间弱解？
• RQ2 如何在粘弹性系统中排除由流场映射形变引起能量集中的问题？
• RQ3 在缺乏强紧致性的情况下，有效粘性通量 $ \mathcal{G} $ 在控制形变梯度 $ \mathbf{F} $ 的振荡中起到何种作用？
• RQ4 能否利用关于Cauchy-Green张量 $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ 的 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-范数的新先验估计来闭合能量估计并确保全局存在性？
• RQ5 是否仅通过二维中的结构恒等式 $ \det \mathbf{F} = 1 $ 和 $ \text{div}\, \mathbf{F}^T = 0 $ 推导出形变梯度分量的 $ L^\infty $ 有界性？

主要发现

• 本文建立了二维不可压缩Oldroyd模型在任意大初值条件下的Leray-Hopf型弱解全局时间存在性，且初值属于物理能量空间。
• 推导出关于空间-时间 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-范数的Cauchy-Green张量 $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ 的新型先验估计，该估计可防止由流场映射形变引起的能量集中。
• 通过有效粘性通量 $ \mathcal{G} $ 控制形变梯度 $ \mathbf{F} $ 的振荡，使得DiPerna-Lions紧致性方法得以应用。
• 通过对其演化方程的能量型估计，形变梯度分量 $ E_{11}-E_{22} $ 和 $ E_{12}+E_{21} $ 的 $ L^\infty $-范数被控制在 $ \mathcal{G}_2 $ 和 $ \mathcal{G}_3 $ 的范围内。
• 形变张量的 $ \|E(t)\|_{L^\infty} $ 有界性被证明由 $ \mathcal{G}_j $ 和 $ \det E $ 的二次结构所控制，从而确保了形变张量的统一控制。
• 该结果将DiPerna-Lions框架推广至具有矩阵未知量的耦合双曲-抛物系统，为处理粘弹性流体模型提供了新方法。