[论文解读] On the center of a Coxeter group

Tetsuya Hosaka|ArXiv.org|Oct 24, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文证明了任意考克斯eter群的中心均为有限群，且同构于 $({\mathbb{Z}}_2)^n$（$n \geq 0$），并确立了该中心完全包含于有限抛物子群 $W_{S \setminus \tilde{S}}$ 中，而本质抛物子群 $W_{\tilde{S}}$ 的中心为平凡群。该结果导出了考克斯eter群在 CAT(0) 空间上几何作用时的分裂定理。

ABSTRACT

In this paper, we show that the center of every Coxeter group is finite and isomorphic to $(\Z_2)^n$ for some $n\ge 0$. Moreover, for a Coxeter system $(W,S)$, we prove that $Z(W)=Z(W_{S\setminus ilde{S}})$ and $Z(W_{ ilde{S}})=1$, where $Z(W)$ is the center of the Coxeter group $W$ and $ ilde{S}$ is the subset of $S$ such that the parabolic subgroup $W_{ ilde{S}}$ is the {\it essential parabolic subgroup} of $(W,S)$ (i.e.\ $W_{ ilde{S}}$ is the minimum parabolic subgroup of finite index in $(W,S)$). The finiteness of the center of a Coxeter group implies that a splitting theorem holds for Coxeter groups.

研究动机与目标

• 确定考克斯eter群中心的结构。
• 以抛物子群（尤其是有限与本质部分）的形式刻画中心。
• 建立考克斯eter群在 CAT(0) 空间上几何作用时的分裂定理。
• 阐明本质抛物子群 $W_{\tilde{S}}$ 及其平凡中心在整体群结构中的作用。

提出的方法

• 利用约化字表示和长度函数分析中心中的元素。
• 应用蒂茨关于考克斯eter群中生成元之间交换关系的定理。
• 利用有限抛物子群中存在唯一最长元素的性质。
• 证明中心元素必须与所有生成元交换，从而导出子集之间的交换关系。
• 通过分解 $W = W_{\tilde{S}} \times W_{S \setminus \tilde{S}}$ 将中心隔离于有限因子之内。
• 通过对合性质 $w^2 = 1$ 和阿贝尔结构，证明中心同构于 $({\mathbb{Z}}_2)^n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般考克斯eter群的中心具有怎样的结构？
• RQ2 中心如何与抛物子群（尤其是本质与有限子群）相关联？
• RQ3 中心能否完全用球形子集的最长元素来描述？
• RQ4 本质抛物子群 $W_{\tilde{S}}$ 的中心是否为零？
• RQ5 考克斯eter群在何种条件下可几何分裂？这与中心有何关联？

主要发现

• 每个考克斯eter群的中心均为有限群，且同构于 $({\mathbb{Z}}_2)^n$（$n \geq 0$）。
• 每个中心元素均可表示为某个球形子集 $T \subset S$ 的有限抛物子群 $W_T$ 中的最长元素。
• 本质抛物子群 $W_{\tilde{S}}$ 的中心为平凡群。
• 整个群 $W$ 的中心与有限抛物子群 $W_{S \setminus \tilde{S}}$ 的中心完全一致。
• 中心的有限性意味着考克斯eter群在 CAT(0) 空间上几何作用时存在分裂定理。
• 若 $W = W_{S_1} \times W_{S_2}$ 在 CAT(0) 空间上几何作用，则该作用可限制于一个凸且准稠密的子空间上的乘积作用。