[论文解读] On the center of the Hurwitz graph

Yuval Hovannes Khachatryan-Raziel|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过建立与几何树图的联系，研究了 Hurwitz 图的中心，该图是非交叉划分格中最大链上的 Cayley 图。证明了所有星形图（仅有一个中心顶点的长毛虫树）都是扩展 Hurwitz 图中的中心顶点，其半径恰好为 $n-2$，并给出了扩展图直径的上下界 $[rac{3}{2}n - 5, 2n - 4]$。

ABSTRACT

For any natural number n, the Hurwitz graph $\mathcal{H}(S_n )$ has vertices corresponding to reduced words of the cycle $(1 . . . n)$ in terms of transpositions in $S_n$, and has edges corresponding to local shifts. This graph is known to be connected, and some of its graph theoretic properties, such as its radius and upper bounds on its diameter, are known. We explore further the structure of the Hurwitz Graph, in particular its center and its connection to the geometric tree graph $G_n$. Finally, the extended Hurwitz Graph is defined and its properties such as the radius, characterization of some central elements and bounds on the diameter are obtained. Part of fulfillment of the requirements for the Master's Degree.

研究动机与目标

• 通过将其与几何树图关联，识别扩展版本 $\mathcal{E}(S_n)$ 中 Hurwitz 图的中心顶点。
• 确定扩展 Hurwitz 图 $\mathcal{E}(S_n)$ 的半径和直径，并提供紧致的界。
• 通过几何树映射 $\Gamma$ 建立 $n$-环的因式分解与非交叉几何树之间的对应关系。
• 利用关于字距离的归纳论证，证明所有星形构型（例如 $\mathcal{S}_1 = (1\,n)\dots(1\,2)$）在 $\mathcal{E}(S_n)$ 中为中央顶点。
• 利用已知的几何树图直径结果，推导扩展 Hurwitz 图的下界。

提出的方法

• 将 Hurwitz 图 $\mathcal{H}(S_n)$ 定义为非交叉划分格 $NC(n)$ 中最大链上的 Cayley 图，其边由右、左 Hurwitz 移动 $R_i$ 和 $L_i$ 诱导。
• 引入几何树映射 $\Gamma$，将对换字映射到平面上的非交叉几何树，保持边结构。
• 使用部分乘积构造 $\sigma_j = t_j \dots t_{n-1}$ 定义映射 $\Phi: F_n \to S_{n-1}$，根据值减少的位置为每个字分配一个置换。
• 在以顶点 $i$ 为中心的几何树的边上定义线性序 $<_{i}$，用于比较字并证明星形图的中心性。
• 对字 $w$ 与星形 $\mathcal{S}_i$ 之间不同的对换数量进行归纳，利用引理 5.2.3 执行“拉取”操作，以减少距离。
• 利用 $\Gamma$ 的满射性以及 $\mathcal{E}(S_n)$ 中相邻顶点在 $\mathcal{G}_n$ 中映射为相邻或相等树的事实，将 $\mathcal{E}(S_n)$ 中的距离与 $\mathcal{G}_n$ 中的距离关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扩展 Hurwitz 图 $\mathcal{E}(S_n)$ 中，哪些顶点是中心顶点，即最小化偏心率的顶点？
• RQ2 扩展 Hurwitz 图 $\mathcal{E}(S_n)$ 的精确半径是多少？
• RQ3 $\mathcal{E}(S_n)$ 的直径如何与几何树图 $\mathcal{G}_n$ 的直径相关？
• RQ4 能否通过使用 Hurwitz 移动进行归纳距离约减，证明星形构型在 $\mathcal{E}(S_n)$ 中的中心性？
• RQ5 几何树图的性质（例如直径界）在多大程度上传递到扩展 Hurwitz 图？

主要发现

• 在 $\mathcal{E}(S_n)$ 中的所有星形构型，如 $\mathcal{S}_1 = (1\,n)\dots(1\,2)$，都是中心顶点，即达到最小偏心率。
• 扩展 Hurwitz 图 $\mathcal{E}(S_n)$ 的半径恰好为 $n-2$，通过证明每个字与任意星形的距离不超过 $n-2$ 且该界是紧的而得出。
• $\mathcal{E}(S_n)$ 的直径下界为 $\frac{3}{2}n - 5$，上界为 $2n - 4$，其中下界由已知的 $\mathcal{G}_n$ 直径推导得出。
• 几何树映射 $\Gamma: F_n \to \mathcal{G}_n$ 是满射，意味着每个非交叉几何树都是某个 $w \in F_n$ 的 $\Gamma(w)$。
• $\mathcal{E}(S_n)$ 中相邻顶点在 $\mathcal{G}_n$ 中映射为相邻或相等的树，表明在 $\Gamma$ 下图结构得以保持。
• 中心性证明依赖于使用引理 5.2.3 中的“拉取”操作进行字距离的归纳约减，这些操作将不在星形中的对换替换为星形中的对换，同时保持与星形的接近性。