[论文解读] On the center of the quantized enveloping algebra of a simple Lie algebra

Libin Li, Limeng Xia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文确定了当 $ q $ 为通用值时，有限维单李代数 $ \mathfrak{g} $ 的量子包络代数 $ U_q(\mathfrak{g}) $ 的中心的代数结构。结果表明，当且仅当 $ \mathfrak{g} $ 为 $ A_1, B_n, C_n, D_{2k+2}, E_7, E_8, F_4 $ 或 $ G_2 $ 类型时，$ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 同构于一个多项式代数；对于其他类型，包括 $ D_n $（$ n $ 为奇数）、$ E_6 $ 和 $ A_n $，本文提供了显式的生成元与关系式描述。主要贡献在于完整分类了中心为多项式代数的情形，并对其他情形提供了详细的代数描述。

ABSTRACT

Let $\frak{g}$ be a finite dimensional simple complex Lie algebra and $U=U_q(\frak{g})$ the quantized enveloping algebra (in the sense of Jantzen) with $q$ being generic. In this paper, we show that the center $Z(U_q(\frak{g}))$ of the quantum group $U_q(\frak{g})$ is isomorphic to a monoid algebra, and that $Z(U_q(\frak{g}))$ is a polynomial algebra if and only if $\frak{g}$ is of type $A_1, B_n, C_n, D_{2k+2}, E_7, E_8, F_4$ or $G_2.$ Moreover, in case $\frak{g}$ is of type $D_{n}$ with $n$ odd, then $Z(U_q(\frak{g}))$ is isomorphic to a quotient algebra of a polynomial algebra in $n+1$ variables with one relation; in case $\frak{g}$ is of type $E_6$, then $Z(U_q(\frak{g}))$ is isomorphic to a quotient algebra of a polynomial algebra in fourteen variables with eight relations; in case $\frak{g}$ is of type $A_{n}$, then $Z(U_q(\frak{g}))$ is isomorphic to a quotient algebra of a polynomial algebra described by $n$-sequences.

研究动机与目标

• 确定任意有限维单李代数 $ \mathfrak{g} $ 的 Jantzen 意义下量子包络代数的中心 $ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 的代数结构。
• 对 $ \mathfrak{g} $ 的类型进行分类，以确定 $ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 同构于多项式代数的情形。
• 为 $ D_n $（$ n $ 为奇数）、$ E_6 $ 和 $ A_n $ 类型提供 $ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 作为多项式代数的商代数的显式表示（即通过生成元与关系式）。
• 确定 $ (U_{\text{ev}}^0)^W $ 的最小生成集，即在 Weyl 群作用下保持不变的偶权格元素子代数，并将其与 $ U_q(\mathfrak{g}) $ 的中心联系起来。

提出的方法

• 作者利用 Harish-Chandra 同态，将 $ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 与 Cartan 子代数中偶权格的 Weyl 群不变子代数 $ (U_{\text{ev}}^0)^W $ 联系起来。
• 通过表示理论分析 $ (U_{\text{ev}}^0)^W $ 的结构，并构造中心元素 $ z_\lambda $（其中 $ \lambda \in Q \cap 2\Lambda $）。
• 对于 $ D_n $（$ n $ 为奇数）和 $ E_6 $ 类型，通过根系与权格计算，显式推导出生成元与关系式。
• 对于 $ A_n $ 类型，采用 $ n $-序列来描述中心作为多项式代数商代数的代数结构。
• 应用 Noether 定理以确保不变代数 $ (U_{\text{ev}}^0)^W $ 的有限生成性。
• 分类依赖于对各种李代数类型下根格 $ Q $ 与权格 $ \Lambda $ 重合性的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有限维单李代数 $ \mathfrak{g} $ 的类型，当 $ q $ 为通用值时，中心 $ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 同构于多项式代数？
• RQ2 对于 $ D_n $（$ n $ 为奇数）、$ E_6 $ 和 $ A_n $ 类型，$ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 的显式代数结构是什么？
• RQ3 如何理解 $ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 的生成元与关系式与 Weyl 群不变子代数 $ (U_{\text{ev}}^0)^W $ 的关系？
• RQ4 最小生成集 $ (U_{\text{ev}}^0)^W $ 是什么？它如何决定中心的结构？
• RQ5 使用 $ n $-序列如何实现对 $ A_n $ 类型中心的系统性描述？

主要发现

• 当且仅当 $ \mathfrak{g} $ 为 $ A_1, B_n, C_n, D_{2k+2}, E_7, E_8, F_4 $ 或 $ G_2 $ 类型时，中心 $ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 同构于一个多项式代数。
• 当 $ \mathfrak{g} $ 为 $ D_n $ 类型且 $ n $ 为奇数时，$ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 同构于一个在 $ n+1 $ 个变量上的多项式代数的商代数，且仅有一个关系式。
• 当 $ \mathfrak{g} $ 为 $ E_6 $ 类型时，$ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 同构于一个在十四变量上的多项式代数的商代数，且有八个关系式。
• 当 $ \mathfrak{g} $ 为 $ A_n $ 类型且 $ n \geq 2 $ 时，$ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 同构于一个由 $ n $-序列描述的多项式代数的商代数。
• 已显式确定 $ (U_{\text{ev}}^0)^W $ 的最小生成集，其结构是多项式中心分类的基础。
• Harish-Chandra 同态将 $ Z(U_q(\mathfrak{g})) $ 可逆地映射到 $ (U_{\text{ev}}^0)^W $，后者是 $ U^0 $ 的真子代数，且不总是多项式代数。