[论文解读] On the Certification of the Restricted Isometry Property

Pascal Koiran, Anastasios Zouzias|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文建立了压缩感知中受限等距性质（RIP）认证的计算困难性结果，表明在合理的复杂性假设下，验证RIP参数不太可能在多项式时间内实现。论文提出一种谱算法以认证稠密子图的不存在性，并通过“懒惰枚举”方法改进暴力枚举的RIP验证，为RIP认证在√n阈值之外的计算困难性提供了证据。

ABSTRACT

Compressed sensing is a technique for finding sparse solutions to underdetermined linear systems. This technique relies on properties of the sensing matrix such as the restricted isometry property. Sensing matrices that satisfy the restricted isometry property with optimal parameters are mainly obtained via probabilistic arguments. Given any matrix, deciding whether it satisfies the restricted isometry property is a non-trivial computational problem. In this paper, we give reductions from dense subgraph problems to the certification of the restricted isometry property. This gives evidence that certifying the restricted isometry property is unlikely to be feasible in polynomial-time. Moreover, on the positive side we propose an improvement on the brute-force enumeration algorithm for checking the restricted isometry property. Another contribution of independent interest is a spectral algorithm for certifying that a random graph does not contain any dense k-subgraph. This "skewed spectral algorithm" performs better than the basic spectral algorithm in a certain range of parameters.

研究动机与目标

• 研究传感矩阵的受限等距性质（RIP）验证的计算复杂性。
• 确定多项式时间算法是否能够认证RIP参数，或区分不同RIP阶次的矩阵。
• 探索通过优化枚举策略改进暴力RIP验证的可行性。
• 建立RIP认证与稠密子图检测问题之间的联系，利用复杂性理论假设。

提出的方法

• 将稠密子图问题约化为受限等距性质的认证问题，表明在合理假设下RIP认证具有计算困难性。
• 提出一种“懒惰算法”，仅枚举由l < k个基向量生成的子空间，而非所有k-稀疏子空间，从而在准多项式时间内实现略高于√n障碍的性能。
• 引入一种“偏置谱算法”，在认证随机图中不存在稠密k-子图方面优于标准谱方法。
• 利用随机矩阵构造（例如±1伯努利矩阵）在特定参数条件下构建具有可证明RIP性质的矩阵。
• 在NP不具有次指数时间随机算法等假设下，从稠密k-子图问题出发进行约化，以确立RIP认证的困难性。
• 应用引理6，将基矩阵C(G)的RIP性质传递至分块对角矩阵C′(G) = diag(C(G), B_n)，保持或扩展RIP行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可能在多项式时间内认证k > √n阶矩阵的受限等距性质？
• RQ2 RIP认证的计算困难性能否归约为已知难题，如稠密子图检测？
• RQ3 RIP阶k与参数δ之间的权衡是什么？如何在算法上加以利用？
• RQ4 谱方法能否改进，以更好地检测或认证随机图中稠密子图的不存在性？
• RQ5 是否存在多项式时间算法可区分小RIP参数与较大RIP参数的矩阵，是否与已知复杂性假设矛盾？

主要发现

• 在假设2下，即NP不具有次指数时间随机算法，认证k = Θ(n)阶矩阵的受限等距性质在多项式时间内极不可能实现。
• 本文证明，对于k = Θ(n)，区分RIP参数δ₁ = κ/2与δ₂ = κ是困难的，其中κ ≤ √5/3 ≈ 0.745，表明即使区分中等RIP参数也具有计算挑战性。
• 对于k = n^{3/4}，在假设1下，证明区分δ₁ = c₁n^{-1/12}与δ₂ = λc₁n^{-1/12}（任意λ > 1）是困难的，表明即使参数差异微小也难以检测。
• “懒惰枚举”算法通过将搜索空间缩减为由l < k个基向量生成的子空间，改进了暴力枚举方法，在允许准多项式时间时，使验证能力略超过√n障碍。
• 提出一种新型“偏置谱算法”，在认证随机图中不存在稠密k-子图方面优于标准谱方法，尤其在特定参数范围内表现更优。
• 理论结果表明，当k = αn且α > 0足够小时，随机n×99n矩阵在参数δ₀满足n ≥ Cδ₀⁻²k log(eN/k)时，满足k阶RIP，且当δ₀足够小时该条件成立，支持此类矩阵的存在性。