[论文解读] On the Characterization of $1$-sided error Strongly-Testable Graph Properties for bounded-degree graphs, including an appendix

Hiro Ito, Areej Khoury+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文對有界度數無向圖與有向圖中一側錯誤強可測量的單調與遺傳圖性質提供了特徵化。結果顯示，此類性質具有強可測性，當且僅當它們在邊修改相對於總邊數的距離下，接近由有限個禁止子圖（單調性）或禁止誘導子圖（遺傳性）定義的性質。

ABSTRACT

We study property testing of (di)graph properties in bounded-degree graph models. The study of graph properties in bounded-degree models is one of the focal directions of research in property testing in the last 15 years. However, despite of the many results and the extensive research effort, there is no characterization of the properties that are strongly-testable (i.e., testable with constant query complexity) even for $1$-sided error tests. The bounded-degree model can naturally be generalized to directed graphs resulting in two models that were considered in the literature. The first contains the directed graphs in which the outdegree is bounded but the indegree is not restricted. In the other, both the outdegree and indegree are bounded. We give a characterization of the $1$-sided error strongly-testable {\em monotone} graph properties, and the $1$-sided error strongly-testable {\em hereditary} graph properties in all the bounded-degree directed and undirected graphs models.

研究动机与目标

• 解決有界度數圖模型中一側錯誤強可測量圖性質特徵化的長期開放問題。
• 透過專注於具有單側錯誤的單調與遺傳性質，擴展既有有界度數圖中性質測試的結果。
• 統一理解不同有界度數模型（無向圖、F(d)-模型（出度有界）、FB(d)-模型（入度與出度均有界））之間的可測性。
• 利用有限禁止配置建立強可測性的必要與充分條件，推廣已知的無子圖性與無小圖性結果。
• 探討將特徵化推廣至單調與遺傳性質之外的限制，特別是在局部修正可能引入新違反的情況下。

提出的方法

• 定義有界度數圖模型，區分 F(d)-模型（出度有界）與 FB(d)-模型（入度與出度均有界），並包含其查詢存取機制。
• 引入「接近禁止配置集合」的概念，若僅需修改最多 ε·dn 條邊即可使圖滿足性質，則稱圖距離該性質為 ε。
• 以禁止子圖（單調性性質）與禁止誘導子圖（遺傳性性質）作為特徵化的核心結構元件。
• 應用分解論證：對於距離 k-星無小圖性質 ε 遠的圖，迭代移除小連通分量，將圖簡化為無大分量的圖，顯示僅需移除 O(εdn) 條邊。
• 證明若圖距離由有限個禁止配置定義的性質 ε 遠，則其必包含大量此類配置，特別是在 FB(1) 等低度數模型中。
• 利用圖小圖理論與局部分割技術的結構結果，界定使圖滿足禁止配置條件所需的邊修改數量。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界度數無向與有向圖中，一側錯誤強可測量的單調圖性質由何特徵？
• RQ2 遺傳圖性質是否可透過禁止誘導子圖對一側錯誤測試進行類似特徵化？
• RQ3 在何種條件下，距離由有限個禁止配置定義的性質 ε 遠的圖可保證包含大量此類配置？
• RQ4 為何特徵化無法推廣至單調與遺傳性質之外的一般性質，特別是當局部修正可能引入新違反時？
• RQ5 在 FB(1)-模型（2-有界度數）的特殊情況下，特徵化的逆命題為何成立？哪些全域結構性質使其成為可能？

主要发现

• 單調圖性質在所有有界度數模型中具有 1 項錯誤強可測性，當且僅當其距離由常數大小的有限個禁止子圖定義的性質為 ε。
• 對於遺傳性質，特徵化以禁止誘導子圖取代子圖，提供完整的結構特徵化。
• 作為小圖的 k-星無性質在無向 d-有界度數模型中具有 1 項錯誤強可測性，且所需邊修改數量受 ε·dn 界定，對任意 ε > 0 成立。
• 在 FB(1)-模型（因此也適用於無向 2-有界度數模型）中，若圖距離 C-無性質 ε 遠，則其包含 Ω(εn) 個禁止配置，建立強大的全域關聯。
• 特徵化無法推廣至一般性質，因可能存在全域衝突，即修正一個禁止配置可能引入另一個，此現象在單調或遺傳設定中不會出現。
• 本研究結果為有界度數模型中所有 1 項錯誤強可測量圖性質的完整特徵化奠定基礎，特別是識別出有限禁止配置作為關鍵結構不變量的角色。