[论文解读] On the characterization of trace class representations and Schwartz operators

Gerrit van Dijk, Karl‐Hermann Neeb+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文对有限维李群的迹类酉表示进行了全面表征，确立了此类表示等价于光滑向量空间的核性以及分布空间上高斯测度的实现性。一个关键结果是，迹类表示等价于存在某个 m ∈ ℕ，使得对所有 f ∈ C^m_c(G)，所有算子 π(f) 均为迹类，这意味着分布特征函数为有限阶。

ABSTRACT

In this note we collect several characterizations of unitary representations $(π, \mathcal{H})$ of a finite dimensional Lie group $G$ which are trace class, i.e., for each compactly supported smooth function $f$ on $G$, the operator $π(f)$ is trace class. In particular we derive the new result that, for some $m \in \mathbb{N}$, all operators $π(f)$, $f \in C^m_c(G)$, are trace class. As a consequence the corresponding distribution character $θ_π$ is of finite order. We further show $π$ is trace class if and only if every operator $A$, which is smoothing in the sense that $A\mathcal{H}\subseteq \mathcal{H}^\infty$, is trace class and that this in turn is equivalent to the Fréchet space $\mathcal{H}^\infty$ being nuclear, which in turn is equivalent to the realizability of the Gaussian measure of $\mathcal{H}$ on the space $\mathcal{H}^{-\infty}$ of distribution vectors. Finally we show that, even for infinite dimensional Fréchet-Lie groups, $A$ and $A^*$ are smoothing if and only if $A$ is a Schwartz operator, i.e., all products of $A$ with operators from the derived representation are bounded.

研究动机与目标

• 统一并澄清有限维李群迹类酉表示的零散表征，其中许多此前未加证明地提出。
• 建立迹类表示与光滑向量空间 H^∞ 的核性之间的等价性。
• 将迹类条件与对偶空间 H^{-∞} 上分布向量的高斯测度实现性联系起来。
• 澄清在弗雷歇–李群背景下，光滑化算子与施瓦茨算子之间的关系。
• 证明对于迹类表示，存在某个 m ∈ ℕ，使得所有 f ∈ C^m_c(G) 对应的 π(f) 均为迹类，这意味着分布特征函数为有限阶。

提出的方法

• 利用李代数 𝔤 的导出表示 dπ 定义光滑向量 H^∞ 并研究其弗雷歇拓扑。
• 应用内尔森–拉普拉斯算子 Δ = ∑X_j^2，通过 (1 - dπ(Δ))^(-k) 对某个 k > 0 的迹类性质来表征迹类表示。
• 建立如下等价性：(1) π 为迹类，(2) 所有光滑化算子均为迹类，(3) H^∞ 为核空间，(4) H^{-∞} 上的高斯测度可实现。
• 证明在弗雷歇–李群中，算子 S 为施瓦茨算子当且仅当 S 与 S* 均为光滑化算子，且当且仅当映射 (g,h) ↦ π(g)Sπ(h) 为光滑。
• 将结果应用于海森堡群的薛定谔表示，表明 [KKW15] 中已知结果为该一般理论的特例。
• 使用石定理以及 C*-代数与施伦特理想理论分析迹类与紧算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限维李群的酉表示为迹类的充要条件是什么？
• RQ2 在李群表示背景下，光滑化算子、施瓦茨算子与迹类算子的概念之间有何关系？
• RQ3 光滑向量空间 H^∞ 的核性与表示的迹类性质之间的确切关系为何？
• RQ4 在何种条件下，有限维李群酉表示的分布特征函数 θ_π 为有限阶？
• RQ5 能否将 H^{-∞} 上高斯测度的实现性作为迹类表示的表征条件？

主要发现

• 对任意有限维李群 G，酉表示 π 为迹类当且仅当存在某个 m ∈ ℕ，使得对所有 f ∈ C^m_c(G)，π(f) 均为迹类，这意味着分布特征函数 θ_π 为有限阶。
• 酉表示 π 为迹类当且仅当每个光滑化算子 A（满足 Aℋ ⊆ ℋ^∞）均为迹类。
• 光滑向量空间 ℋ^∞ 为核空间当且仅当 π 为迹类，建立了泛函分析性质与表示理论之间的深刻联系。
• 在希尔伯特空间 ℋ 上的高斯测度可实现于分布向量的对偶空间 ℋ^{-∞} 上，当且仅当 π 为迹类。
• 对任意弗雷歇–李群 G，算子 S ∈ B(ℋ) 为施瓦茨算子当且仅当 S 与 S* 均为光滑化算子，且当且仅当映射 (g,h) ↦ π(g)Sπ(h) 为光滑。
• 海森堡群的薛定谔表示为迹类表示，其光滑向量等于施瓦茨空间 𝒮(Y)，且 [KKW15] 中定义的所有算子作为施瓦茨算子，与本文定义完全一致。