[论文解读] On the Chebyshev approximation of a function with two variables

Ernest Scheiber|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2015

Advanced Computational Techniques in Science and Engineering参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于二维离散傅里叶变换（2D-DFT）构造双变量切比雪夫逼近多项式的方法，实现了对目标函数的均匀收敛。该方法利用切比雪夫级数展开与拉格朗日-切比雪夫插值，通过测试函数的数值验证实现了高精度，为Chebfun的低秩高斯消去法提供了一种替代方案，且在普通软件中实现更为简便。

ABSTRACT

There is presented an approach to find an approximation polynomial of a function with two variables based on the two dimensional discrete Fourier transform. The approximation polynomial is expressed through Chebyshev polynomials. There is given an uniform convergence result.

研究动机与目标

• 开发Chebfun低秩高斯消去法的替代方法，用于双变量函数逼近。
• 利用常见数学软件中可用的标准2D-DFT工具，实现双变量函数的高精度逼近。
• 在光滑性条件下，建立拉格朗日-切比雪夫插值多项式对真实函数的均匀收敛性。
• 提供基于切比雪夫逼近的数值积分与偏导数计算的实用方法。
• 通过数值实验对方法进行验证，包括误差与积分结果的对比。

提出的方法

• 该方法通过在张量网格上采样函数值的二维离散傅里叶变换（2D-DFT），构造双变量切比雪夫逼近多项式。
• 利用切比雪夫-勒让德节点上函数值的复数2D-DFT，结合周期性与梯形法则近似，计算切比雪夫系数。
• 逼近多项式表示为切比雪夫多项式 $ T_n(x)T_m(y) $ 的双重乘积之和，其系数由DFT输出导出。
• 采用拉格朗日-切比雪夫插值构造在切比雪夫节点处与函数匹配的多项式，确保唯一性与收敛性。
• 在函数具有连续二阶偏导数的假设下，证明了均匀收敛性。
• 数值积分与偏导数计算通过从切比雪夫级数系数导出的闭式表达式完成。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维离散傅里叶变换能否有效用于双变量函数逼近的切比雪夫系数计算？
• RQ2 在光滑性条件下，所得的拉格朗日-切比雪夫插值多项式是否能实现对原函数的均匀收敛？
• RQ3 与Chebfun的低秩逼近等现有方法相比，该2D-DFT方法在误差与计算成本方面的精度如何？
• RQ4 该方法能否在标准数学软件中利用标准DFT例程高效实现？
• RQ5 截断与舍入误差对基于截断切比雪夫级数进行数值积分与导数计算的影响如何？

主要发现

• 对于 $ f(x,y) = \cos(xy) $，在 $ 50 \times 50 $ 等距网格上的最大绝对误差为 $ 8.2141 \times 10^{-5} $，残差指标为 $ 3.97247 \times 10^{-10} $。
• 对于 $ g(x,y) = \cos(10xy^2) + e^{-x^2} $，最大绝对误差为 $ 2.98594 \times 10^{-13} $，残差指标为零，表明具有极高的数值精度。
• 通过该方法计算的 $ f(x,y) = \cos(xy) $ 的数值积分结果为 $ 3.784330902 $，与Mathematica结果 $ 4\mathrm{Si}(1) \approx 3.78433228147 $ 非常接近。
• 该方法对第二个测试函数实现了机器精度，积分结果在报告的有效数字范围内与Mathematica结果完全一致。
• 在函数 $ f $ 具有连续二阶偏导数的条件下，证明了插值多项式 $ L_{n,m} $ 对 $ f $ 的均匀收敛性。
• 该方法为Chebfun基于高斯消去法的方案提供了一种可行的替代方案，实现更为简便，但可能在高精度下需要较大的内存。