[论文解读] On the chiral ring of Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties

Anvar R. Mavlyutov|ArXiv.org|Oct 31, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文为在toric流形中的Calabi-Yau超曲面的chiral ring提供了完整的代数描述，特别是在三维情况下。通过Jacobian环和余数映射，引入了chiral ring的多项式部分与非多项式部分，并利用toric几何与Gysin映射推导出显式的cup积结构，最终完整计算了反canonical超曲面的量子上同调环。

ABSTRACT

We study the B-model chiral ring of Calabi-Yau hypersurfaces in Batyrev's mirror construction. The main result is an explicit description of a subring of the chiral ring of semiample regular (transversal to torus orbits) Calabi-Yau hypersurfaces. This subring includes the marginal operators and contains all information about the correlation functions used by physicists. Computation of the chiral ring passes through a description of cohomology of semiample hypersurfaces. Here, we develop the techniques for calculating of the cohomology of resolutions.

研究动机与目标

• 对完全单纯toric流形中的拟光滑超曲面，完全描述chiral ring $\oplus_p H^p(X, \wedge^p \mathcal{T}_X)$。
• 将chiral ring分解为多项式部分与非多项式部分，其中后者源自Jacobian环的商环。
• 为半正则反canonical regular超曲面（尤其是Calabi-Yau情形）建立中间上同调与chiral ring的精确代数描述。
• 利用toric几何、Gysin映射以及来自扇形的组合数据，计算chiral ring上的乘积结构。

提出的方法

• 为orbifolds引入Zariski的第p个外幂$\wedge^p \mathcal{T}_X$，并构造从Jacobian环$R(f)_{*\beta}$到$H^*(X, \wedge^* \mathcal{T}_X)$的环同态。
• 将chiral ring的多项式部分定义为$R_1(f)_{*\beta}$的像，该映射在Calabi-Yau情形下为单射。
• 通过从商环$R^\sigma(f)$到$H^*(X, \wedge^* \mathcal{T}_X)$的模映射构造非多项式部分，且与多项式部分相容。
• 利用Gysin同态与投影公式计算上同调中的cup积，特别是在$H^{d-1}(X, \wedge^{d-1} \mathcal{T}_X)$中。
• 将半正则超曲面的上同调分解为toric部分与余数部分，证明其为直和分解。
• 应用新环$R_1^\sigma(f)$描述大且正则的超曲面的中间上同调，从而实现乘积结构的完整计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为toric流形中的Calabi-Yau超曲面完全描述chiral ring $\oplus_p H^p(X, \wedge^p \mathcal{T}_X)$？
• RQ2 chiral ring的非多项式部分的代数结构是什么？它与多项式部分有何关系？
• RQ3 chiral ring中的cup积如何从toric与余数上同调分量中产生？
• RQ4 在组合数据来自扇形的条件下，反canonical超曲面的chiral ring的显式乘积结构是什么？
• RQ5 在最小Calabi-Yau情形下，高阶cup积在何种条件下消失或简化？

主要发现

• 对于三维Calabi-Yau超曲面，chiral ring通过多项式部分$R_1(f)_{*\beta}$与来自$R^\sigma(f)$的非多项式部分完全描述，且已完整计算其乘积结构。
• 对于半正则反canonical regular超曲面，chiral ring同构于中间上同调，其乘积结构通过涉及$\gamma_A$、$\gamma^i_A$与$\gamma^{i}_{AB}$的cup积显式计算得出。
• 在$H^{d-1}(X, \wedge^{d-1} \mathcal{T}_X)$中，cup积$\gamma^i_A \cup \gamma^i_B$由$\frac{\mathrm{mult}(\sigma_k + \sigma_{k+1}) \gamma_{\mu^{-1}(ABG^\sigma(f))}}{\mathrm{mult}(\sigma_k)\mathrm{mult}(\sigma_{k+1})}$给出，显式依赖于锥的重数。
• 当$\rho_i = \rho_{l_k}$不在$\Sigma_X$中时，三重积$\gamma^i_A \cup \gamma^i_B \cup \gamma^i_C$与$\gamma_{\mu^{-1}(ABCH^\sigma(f)G^\sigma(f))}$成比例，其系数依赖于锥的重数。
• 当所有二维锥的重数均为1时，三重积$\gamma^i_A \cup \gamma^i_B \cup \gamma^i_C$消失，此情形适用于Batyrev构造中的最小Calabi-Yau超曲面。
• 乘积结构与同构$\cup[\omega_1]: H^{d-1}(X, \mathcal{O}_X) \to H^{d-1}(X, \Omega^{d-1}_X)$相容，从而可显式计算Yukawa耦合。