[论文解读] On the Choi-Jamiolkowski Correspondence in Infinite Dimensions

A. S. Holevo|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 16被引用 50

一句话总结

该论文在无限维量子系统中建立了Choi-Jamiolkowski（CJ）对应关系的严格数学表述，将未归一化的最大纠缠态和Choi矩阵定义为稠密子空间上的半正定形式，无需使用极限过程。关键贡献在于通过可分CJ形式表征破坏纠缠的通道，并给出了Bosonic高斯通道的显式表达式，包括存在有界CJ算符的充要条件。

ABSTRACT

We give a mathematical formulation for the Choi-Jamiolkowski (CJ) correspondence in the infinite-dimensional case in the form close to one used in quantum information theory. We show that there is no need to use a limiting procedure to define "unnormalized maximally entangled state" and the corresponding analog of the Choi matrix since they can be defined rigorously as, in general, nonclosable forms on an appropriate dense subspace. The properties of these forms are discussed in Sec. 2. An important question is: when the CJ form is given by a bounded operator. This is the case for entanglement-breaking channels: we prove this in Sec. 3 along with a version of a result of Wolf et al. characterizing CJ operators which correspond to such channels by giving precise definitions of a separable operator and a relevant integral. In Sec. 4 we obtain explicit expressions for CJ forms and operators defining a general Bosonic Gaussian channel. In Sec. 5 we give a decomposition of the Gaussian CJ form into product of the four principal types and a necessary and sufficient condition for existence of the bounded CJ operator.

研究动机与目标

• 在无限维Hilbert空间中提供Choi-Jamiolkowski对应关系的严格数学表述，避免先前工作中使用的极限过程。
• 将“未归一化的最大纠缠态”及其对应的Choi矩阵定义为稠密子空间上的半正定形式。
• 通过可分CJ形式和积分表示，将有限维到无限维的结论进行扩展，表征破坏纠缠的通道。
• 推导一般Bosonic高斯通道的CJ形式和算子的显式表达式。
• 在高斯通道背景下，建立有界CJ算符存在的必要与充分条件。

提出的方法

• 通过通道Φ和对偶态|ψ̄⟩，在H_B × H_A上定义CJ形式ΩΦ为共轭双线性、半正定形式，避免算子闭包。
• 利用关系式ΩΦ(ψ_B⊗ψ_A; ψ'_B⊗ψ'_A) = ⟨ψ_B|Φ(|ψ̄_A⟩⟨ψ̄'_A|)|ψ'_B⟩，通过通道对对偶态的作用来定义该形式。
• 应用迹条件∑_k ΩΦ(e_k⊗ψ_A; e_k⊗ψ'_A) = ⟨ψ_A|ψ'_A⟩，推广部分迹操作，确保与H_A上恒等算符的一致性。
• 利用协方差矩阵μ的非退化性，将辛空间Z_B + Z_A分解为五个正交子空间（Z1至Z4和Z0）。
• 利用CCR代数的不可约表示，将幺正演化U分解为对应于量子噪声与经典噪声分量子空间的张量积作用。
• 通过辛分解，将CJ形式表示为四种主要类型（非退化/纯态中的量子噪声、具有正方差的经典噪声，以及零方差的平凡经典噪声）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖极限过程的前提下，严格定义无限维量子系统中的Choi-Jamiolkowski对应关系？
• RQ2 什么条件可确保与通道相关的CJ形式可由有界算符表示？
• RQ3 如何利用CJ对应关系在无限维中表征破坏纠缠的通道？
• RQ4 Bosonic高斯通道的CJ形式的显式结构是什么？其物理分量如何分解？
• RQ5 辛分解在表征CJ形式结构及有界CJ算符存在性方面起什么作用？

主要发现

• CJ形式ΩΦ可严格定义为H_B × H_A稠密子空间上的半正定形式，无需使用极限，仅通过通道对对偶态的作用实现。
• 当且仅当高斯通道的协方差矩阵μ非退化时，CJ形式与有界算符相关联。
• 破坏纠缠的通道通过可分CJ形式表征，其对应算符具有精确的积分表示。
• Bosonic高斯通道的CJ形式可分解为四种主要类型：非退化态中的量子噪声、纯态中的量子噪声、具有正方差的经典噪声，以及零方差的平凡经典噪声。
• 辛分解Z_B + Z_A = Z1 ⊕ Z2 ⊕ Z′3 ⊕ Z′4 ⊕ Z0使得幺正演化可表示为各子空间作用的张量积，从而实现CJ形式的显式构造。
• CJ算符有界性的条件等价于矩阵μ的非退化性，这确保了噪声结构存在良好定义的有限维表示。