[论文解读] On the Chow group of zero-cycles of a generalized Kummer variety

Hsueh-Yung Lin|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 5

一句话总结

该论文证明了广义Kummer簇的零循环代数群上的有理轨道滤子与由阿贝尔曲面的代数群诱导的Beauville分解一致。通过构造被常循环子簇纤维化的共脐子簇，作者证明该滤子与猜想的Bloch-Beilinson滤子对偶，从而在该设定下证实了Voisin的猜想。

ABSTRACT

For a generalized Kummer variety X of dimension 2n, we will construct for each 0 < i < n some co-isotropic subvarieties in X foliated by i-dimensional constant cycle subvarieties. These subvarieties serve to prove that the rational orbit filtration introduced by Voisin on the Chow group of zero-cycles of a generalized Kummer variety coincides with the induced Beauville decomposition from the Chow ring of abelian varieties. As a consequence, the rational orbit filtration is opposite to the conjectural Bloch-Beilinson filtration for generalized Kummer varieties.

研究动机与目标

• 研究广义Kummer簇的零循环代数群上的有理轨道滤子。
• 将此滤子与由阿贝尔曲面的代数群诱导的Beauville分解进行比较。
• 证明有理轨道滤子与Beauville分解一致，从而确立其与Bloch-Beilinson滤子的对偶性质。
• 在广义Kummer簇的情形下验证Voisin（2015）的猜想1.3。
• 构造被常循环子簇纤维化的共脐子簇，以支持滤子比较。

提出的方法

• 在广义Kummer簇中构造共脐子簇，使其被i维常循环子簇纤维化，其中0 ≤ i ≤ n。
• 使用Voisin定义的有理轨道滤子S_p(CH_0(X))，即由维度为p的常循环子簇上的点生成的子群。
• 利用由商映射A_0^{n+1} → X诱导的同构CH_0(X) ≅ CH_0(A_0^{n+1})^{𝔖_{n+1}}。
• 应用CH_0(A_0^{n+1})的Beauville分解，从而在广义Kummer簇上诱导出分解CH_0(X) = ⊕_{0≤s≤2n} CH_0(X)_s。
• 通过第4节和第5节中两种不同的证明方法，无条件地证明CH_0(X)_s = 0对所有奇数s成立。
• 建立链式包含关系S_p(CH_0(X)) ⊂ CH_0(X)_{≤2n−2p} ⊂ CH_0(X)_{≤2n−2p+1} ⊂ Im(CH_0(V_{p,1}) → CH_0(X)) ⊂ S_p(CH_0(X))，以证明等式成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Kummer簇X的零循环代数群上的有理轨道滤子S_p(CH_0(X))是否与Beauville分解一致？
• RQ2 如Voisin所猜想，广义Kummer簇的有理轨道滤子是否与Bloch-Beilinson滤子对偶？
• RQ3 能否构造被常循环子簇纤维化的共脐子簇以实现滤子层级？
• RQ4 由阿贝尔曲面结构诱导的CH_0(X)上的Beauville分解是否与有理轨道滤子一致？
• RQ5 有理轨道滤子与广义Kummer簇的代数群结构之间的确切关系是什么？

主要发现

• 在维度为2n的广义Kummer簇X上，有理轨道滤子S_p(CH_0(X))与Beauville分解一致：S_p(CH_0(X)) = ⊕_{2s ≤ 2n−2p} CH_0(X)_{2s}。
• 有理轨道滤子与Bloch-Beilinson滤子对偶，从而在广义Kummer簇的情形下证实了Voisin猜想1.3。
• 对所有奇数s，CH_0(X)_s = 0，该结论在第4节和第5节中以两种不同方式无条件地得到证明。
• CH_0(V_{p,1})在CH_0(K_{(n)})中的像等于ν_* S_p(CH_0(K_n))，表明S_p(CH_0(K_n))被支撑在一个余维数为p的子簇上。
• 链式包含关系S_p(CH_0(X)) ⊂ CH_0(X)_{≤2n−2p} ⊂ CH_0(X)_{≤2n−2p+1} ⊂ Im(CH_0(V_{p,1}) → CH_0(X)) ⊂ S_p(CH_0(X))意味着整个链中均为等式，从而证明了主定理。
• 该结果为[22, 猜想0.8]在广义Kummer簇情形下提供了肯定答案。