[论文解读] On The Chromatic Number of Matching Graphs

Meysam Alishahi, Hossein Hajiabolhassan|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文通过引入交替Turán数并证明其等于匹配的广义Turán数，确定了广泛类匹配图——Kneser图和Schrijver图的推广——的色数。利用Tucker引理和交替数作为下界，作者证明匹配图的色数精确为|E(G)| − ex(G, rK₂)，推广了Schrijver对Schrijver图色数的结果，并将其扩展至排列图和最小度较高的稠密二部图。

ABSTRACT

In an earlier paper, the present authors (2013) introduced the altermatic number of graphs and used Tucker's Lemma, an equivalent combinatorial version of the Borsuk-Ulam Theorem, to show that the altermatic number is a lower bound for the chromatic number. A matching graph has the set of all matchings of a specified size of a graph as vertex set and two vertices are adjacent if the corresponding matchings are edge-disjoint. It is known that the Kneser graphs, the Schrijver graphs, and the permutation graphs can be represented by matching graphs. In this paper, as a generalization of the well-known result of Schrijver about the chromatic number of Schrijver graphs, we determine the chromatic number of a large family of matching graphs by specifying their altermatic number. In particular, we determine the chromatic number of these matching graphs in terms of the generalized Turan number of matchings.

研究动机与目标

• 将Schrijver对Schrijver图色数的结果推广到更广泛的匹配图类。
• 建立匹配图色数与匹配广义Turán数之间的联系。
• 确定足够大顶点数下排列图的色数。
• 通过Tucker引理证明交替数为匹配图色数的紧下界。
• 引入并利用交替Turán数作为关键工具以界定色数。

提出的方法

• 作者通过使用±1的交替序列，定义超图的交替数和强交替数，并利用Tucker引理建立色数的下界。
• 他们将交替Turán数作为广义Turán数的推广，专门针对图中的匹配。
• 该方法涉及将匹配图表示为一般Kneser图KG(H)，其中超边对应于基图G中大小为r的匹配。
• 他们证明：若二部图H ⊆ G的最小度数≥ n/2 + q，则H为(r,c)-局部欧拉图，从而可分解为完全二部子图。
• 利用此分解及(r,c)-局部欧拉图的性质，他们证明KG(G, rK₂)的色数等于|E(G)| − ex(G, rK₂)。
• 该证明依赖于从子图扩展着色，并利用Hall定理界定rK₂-自由子图中的边数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于最小度较高的稠密二部图构造的匹配图，其色数是多少？
• RQ2 交替数与匹配图的色数有何关系？
• RQ3 能否利用广义Turán数确定大顶点数下排列图的色数？
• RQ4 在何种条件下，匹配的交替Turán数与广义Turán数相等？
• RQ5 KG(G, rK₂)的色数是否始终等于|E(G)| − ex(G, rK₂)，如所猜想？

主要发现

• 对任意r ≥ 1，存在常数q和m，使得若G为2n个顶点的图，且其具有最小度数≥ n/2 + q的平衡二部子图H，且n ≥ m，则χ(KG(G, rK₂)) = |E(G)| − ex(G, rK₂)。
• 当m足够大时，KG(K_{m,n}, rK₂)的色数恰好为m(n − r + 1)，与广义Turán数一致。
• 当m为偶数且m ≥ n ≥ r时，KG(K_{m,n}, rK₂)的色数为m(n − r + 1)，在此情况下证实了该猜想。
• 排列图S_r(m,n)的色数被确定为m(n − r + 1)，当m足够大时，扩展了Schrijver的结果。
• 交替数为匹配图色数提供了紧下界，且当交替Turán数等于广义Turán数时，该下界可达到。