[论文解读] On The Class Of $2D$ $q$-Appell Polynomials

Marzieh Eini Keleshteri, Nazım I. Mahmudov|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2015

Mathematical functions and polynomials参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文通过涉及 $q$-指数函数的生成函数，引入了一类新的二维 $q$-Appell 多项式，并利用 $q$-微分算子推导出其递推关系和偏 $q$-微分方程。主要贡献在于系统地推导出 $2D$ $q$-Bernoulli、$q$-Euler 和 $q$-Genocchi 多项式的运算恒等式与显式关系，确立了其在 $q$-微积分框架下的结构与计算性质。

ABSTRACT

In this research, as the new results of our previously proposed definition for the new class of $2D$ $q$-Appell polynomials, we derive some interesting relations including the recurrence relation and partial $q$-difference equation of the aforementioned family of $q$-polynomials. Next, as some famous examples of this new defined class of $q$-polynomials, we obtain the corresponding relations to the $2D$ $q$-Bernoulli polynomials, $2D$ $q$-Euler polynomials as well as $2D$ $q$-Genocchi polynomials.

研究动机与目标

• 通过定义一类新的 $2D$ $q$-Appell 多项式，将 Appell 多项式理论扩展至 $q$-微积分框架下的双变量情形。
• 利用 $q$-微分算子推导出该类多项式的递推关系与偏 $q$-微分方程。
• 将一般框架特化，以获得知名 $q$-多项式（如 $2D$ $q$-Bernoulli、$q$-Euler 和 $q$-Genocchi 多项式）的结构性质。
• 基于 $q$-微分的下移算子建立运算恒等式，实现对多项式族的系统化操作。

提出的方法

• 本文通过涉及 $q$-指数函数 $e_q(tx)$ 和 $E_q(ty)$ 的生成函数定义 $2D$ $q$-Appell 多项式。
• 通过应用关于 $t$、$x$ 和 $y$ 的 $q$-微分，推导出运算恒等式与递推关系。
• 定义下移算子 $\Phi_{n,q_x}$ 和 $\Phi_{n,q_y}$ 为缩放后的 $q$-微分，以表达多项式次数的降低。
• 通过比较生成函数的 $q$-微分中各项系数，并结合 $q$-二项式系数的级数展开，推导出递推关系。
• 将该方法应用于三种特殊情况：$2D$ $q$-Bernoulli、$q$-Euler 和 $q$-Genocchi 多项式，通过代入其各自的生成函数实现。
• 通过将 $q$-微分算子与 $A_q(t)$ 及其比值 $A_q(t)/A_q(qt)$ 的 $q$-级数展开所得系数相结合，构建偏 $q$-微分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $q$-指数生成函数构建统一的 $2D$ $q$-Appell 多项式框架？
• RQ2 在变量 $x$ 的 $q$-平移下，$2D$ $q$-Appell 多项式的递推关系如何描述？
• RQ3 $2D$ $q$-Appell 多项式的偏 $q$-微分方程如何反映其运算结构与次数降低特性？
• RQ4 作为特例，$2D$ $q$-Bernoulli、$q$-Euler 和 $q$-Genocchi 多项式的显式递推关系与 $q$-微分方程是什么？
• RQ5 递推关系中的系数如何与 $q$-数、$q$-二项式系数和 $q$-阶乘相关联？

主要发现

• 二维 $q$-Appell 多项式的递推关系为 $A_{n,q}(qx,y) = q^n(x + (\alpha_1 + \beta_0 y)q^{-1})A_{n-1,q}(x,y) + \frac{1}{[n]_q}\sum_{k=1}^{n-1}\left[\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right]_q q^{k-1}A_{k-1,q}(x,y)(\alpha_{n-k+1} + \frac{y}{[n-k+1]_q}\beta_{n-k})$。
• 对于二维 $q$-Euler 多项式，递推关系为 $G_{n,q}(qx,y) = q^n(x + \frac{(q+1)y-1}{2q})G_{n-1,q}(x,y) + \frac{1}{[n]_q}\sum_{k=1}^{n-1}\left[\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right]_q q^{k-1}G_{k-1,q}(x,y)(\frac{1}{2}E_{n-k,q} + \frac{(q-1)y}{q[n-k+1]_q}\sum_{l=0}^{n-k}\left[\begin{array}{c}n-k\\ l\end{array}\right]_q E_{l,q})$。
• 二维 $q$-Euler 多项式的偏 $q$-微分方程为 $\left[(xq^n + \frac{(q+1)y}{2[k]_q} - \frac{1}{2})D_{q,x} + \sum_{k=2}^n \frac{q^{n-k}}{[k]_q!}(\frac{1}{2}E_{k-1,q} + \frac{(q-1)y}{2[k]_q}\sum_{l=0}^{k-1}\left[\begin{array}{c}k-1\\ l\end{array}\right]_q E_{l,q})D_{q,x}^k\right]E_{n,q}(x,y) - [n]_q E_{n,q}(qx,y) = 0$。
• 对于二维 $q$-Genocchi 多项式，递推关系为 $G_{n,q}(qx,y) = q^n(x + \frac{y-1}{q^2})G_{n-1,q}(x,y) + \frac{1}{2[n]_q}\sum_{k=1}^{n-1}\left[\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right]_q q^{k-2}G_{k-1,q}(x,y)(G_{n-k+1,q} + \frac{(q-1)y}{[n-k+1]_q}\sum_{l=0}^{n-k}\left[\begin{array}{c}n-k\\ l\end{array}\right]_q G_{l,q})$。
• 二维 $q$-Genocchi 多项式的偏 $q$-微分方程为 $\left[(xq^n + \frac{y-1}{q})D_{q,x} + \sum_{k=2}^n \frac{q^{n-k-1}}{2[k]_q!}(G_{k,q} + \frac{(q-1)y}{[k]_q}\sum_{l=0}^{k-1}\left[\begin{array}{c}k-1\\ l\end{array}\right]_q G_{l,q})D_{q,x}^k\right]G_{n,q}(x,y) - [n]_q G_{n,q}(qx,y) = 0$。
• 递推关系中的系数 $\alpha_n$ 和 $\beta_n$ 显式地用 $q$-Euler 数与 $q$-Genocchi 数表示，建立了生成函数结构与多项式系数之间的联系。