[论文解读] On the class of languages recognizable by 1-way quantum finite automata

Andris Ambainis, Arnolds Ķikusts+1 more|ArXiv.org|Sep 1, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文表征了可由单向量子有限自动机（1-QFA）识别的正则语言类，通过在最小确定性自动机中识别禁止的结构片段，确定了识别的必要与充分条件。证明了该类语言不具有并集封闭性，从而否定了Brodsky与Pippenger的猜想，并提出了一个通用的禁止构造准则，用于识别无法被1-QFA识别的语言。

ABSTRACT

It is an open problem to characterize the class of languages recognized by quantum finite automata (QFA). We examine some necessary and some sufficient conditions for a (regular) language to be recognizable by a QFA. For a subclass of regular languages we get a condition which is necessary and sufficient. Also, we prove that the class of languages recognizable by a QFA is not closed under union or any other binary Boolean operation where both arguments are significant.

研究动机与目标

• 表征可由单向量子有限自动机（1-QFA）识别的正则语言类，解决量子自动机理论中的一个开放问题。
• 识别正则语言可被1-QFA识别的必要与充分条件，特别是针对不含连续环的子类。
• 否定向Brodsky与Pippenger提出的猜想，即所有满足偏序条件的正则语言均可被1-QFAs识别。
• 证明可由1-QFAs识别的语言类不具有并集或其他重要二元布尔运算的封闭性。
• 提出一个通用的禁止构造准则，以捕捉1-QFA识别中的结构性障碍。

提出的方法

• 使用酉变换、叠加态以及基于测量的终止状态来定义单向量子有限自动机（1-QFA）。
• 引入最小确定性自动机中‘禁止构造’的概念，其基于与酉性不相容的结构性不匹配，从而阻止1-QFAs识别语言。
• 通过按层级划分状态并分析特定语言L的最小自动机，验证其不存在禁止片段。
• 将禁止构造推广至n层结构，确保通往接受与拒绝状态的路径上单词遍历次数一致。
• 利用条件：在一般构造中，每个Dij集合内接受与拒绝状态数量相等，意味着无法被1-QFA识别。
• 应用该框架，通过构造两个可识别语言的并集而自身不可识别的语言，以否定向并集封闭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小确定性自动机的何种结构性特征会阻止其通过单向量子有限自动机识别语言？
• RQ2 可由1-QFAs识别的语言类是否对并集或其他二元布尔运算封闭？
• RQ3 Brodsky与Pippenger提出的偏序条件是否对1-QFA识别而言既是必要也是充分的？
• RQ4 在何种一般形式下，自动机中的禁止构造会导致在1-QFA约束下无法实现语言识别？
• RQ5 对于哪类正则语言子类，所识别的禁止片段条件对1-QFA识别而言既是必要也是充分的？

主要发现

• 可由单向量子有限自动机识别的语言类不具有并集封闭性，这一点通过构造一个由两个可识别语言并集而成但自身不可识别的语言得到证明。
• 本文识别出一种通用的禁止构造，涉及具有一致单词遍历次数的n层状态结构，其中每个Dij集合内接受与拒绝状态数量相等，意味着无法被1-QFA识别。
• 对于不含连续环的正则语言子类（如图3所示），禁止片段条件对1-QFA识别而言既是必要也是充分的。
• 图11中语言L的最小自动机不包含定理2.1的禁止构造，但仍无法被1-QFA识别，表明定理4.1的禁止构造是更强的障碍。
• 定理4.1的禁止构造的存在并不意味着定理2.1的禁止构造存在，说明这两个条件并非等价。
• 本文通过构造一个反例（其包含的禁止片段未被偏序条件捕捉），否定了Brodsky与Pippenger的猜想，即所有满足偏序条件的正则语言均可被1-QFAs识别。