[论文解读] On the Classical Hardness of Spoofing Linear Cross-Entropy Benchmarking

Scott Aaronson, Sam Gunn|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2019

Advancements in Photolithography Techniques被引用 17

一句话总结

本文在新假设 XQUATH 下证明了伪造线性交叉熵基准测试（Linear XEB）在经典计算上是困难的，该假设认为：以优于平凡水平的精度估计随机量子线路对特定输出字符串（例如 $0^n$）的输出概率是不可行的。作者将伪造 XEB 的问题归约为 XQUATH，证明了任何高效的经典 XEB 伪造算法都将意味着解决了 XQUATH，从而将伪造的困难性与一个强大且无需采样的假设联系起来。

ABSTRACT

Recently, Google announced the first demonstration of quantum computational supremacy with a programmable superconducting processor. Their demonstration is based on collecting samples from the output distribution of a noisy random quantum circuit, then applying a statistical test to those samples called Linear Cross-Entropy Benchmarking (Linear XEB). This raises a theoretical question: how hard is it for a classical computer to spoof the results of the Linear XEB test? In this short note, we adapt an analysis of Aaronson and Chen [2017] to prove a conditional hardness result for Linear XEB spoofing. Specifically, we show that the problem is classically hard, assuming that there is no efficient classical algorithm that, given a random n-qubit quantum circuit C, estimates the probability of C outputting a specific output string, say 0^n, with variance even slightly better than that of the trivial estimator that always estimates 1/2^n. Our result automatically encompasses the case of noisy circuits.

研究动机与目标

• 建立线性交叉熵（XEB）基准伪造的经典计算困难性，这是量子优越性实验中的关键测试。
• 提出一个新的、无需采样的假设——XQUATH，以捕捉估计随机量子线路输出概率的难度。
• 表明伪造 XEB 的难度等价于求解 XQUATH，从而将 XEB 伪造的困难性转移至一个明确的复杂性理论假设。
• 为 XEB 伪造提供一个条件性困难证明，即使在含噪声的量子线路中也成立。

提出的方法

• 引入 XQUATH 作为新的复杂性假设：任何多项式时间的经典算法都无法以超过 $1/2 + \text{poly}(1/2^n)$ 的成功概率，估计一个随机 $n$-量子比特量子线路对固定字符串（例如 $0^n$）的输出概率。
• 构建从 XQUATH 到伪造线性 XEB 问题的归约，表明任何高效的 XEB 伪造算法都将意味着解决了 XQUATH。
• 使用一个随机字符串 $z$ 和通过在满足 $z_i = 1$ 的量子比特上应用 NOT 门得到的变换线路 $C'$，保持线路分布不变，并将 $\bra{0^n}C\ket{0^n}$ 与 $\bra{z}C'\ket{0^n}$ 联系起来。
• 基于二次表达式 $\mathbb{E}[X]$ 的期望值使用概率论证，表明如果 XEB 以高概率被伪造，则估计器必须优于平凡估计器，从而与 XQUATH 矛盾。
• 推导出成功伪造 XEB 所需样本数 $k$ 的下界：$k \geq 1/((2s-1)b - 1)(b-1)$，其中 $s$ 为成功概率，$b$ 为 XEB 阈值。
• 证明当 $b \approx 2$ 时，以高概率伪造 XEB 所需的样本数为 $k = \Omega((b-1)^{-2})$，随着噪声增加而迅速增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在合理的复杂性假设下，伪造线性 XEB 是否在经典计算上是困难的？
• RQ2 XEB 伪造的困难性能否被归约为一个无需采样的假设，而非涉及完整采样的假设？
• RQ3 XQUATH 与早期的 QUATH 假设在计算强度和含义上存在何种关系？
• RQ4 为实现 XEB 伪造，所需样本数如何随保真度阈值 $b$ 和成功概率 $s$ 变化？

主要发现

• 在 XQUATH 假设下，以成功概率 $s > \frac{1}{2} + \frac{1}{2b}$ 伪造线性 XEB 在经典计算上是困难的。
• 经典算法以高概率伪造 XEB 所需的样本数 $k$ 满足下界 $k \geq \frac{1}{((2s-1)b - 1)(b - 1)}$。
• 当 $b = 1 + \delta$ 且 $s = \frac{1}{2} + \frac{1}{2b} + \epsilon$ 时，所需样本数约为 $1/(2\epsilon\delta)$。
• 即使 $s = 1$，样本数也必须超过 $(b - 1)^{-2}$，当 $b \to 1^+$ 时该值迅速增大，对应高噪声情况。
• 归约表明，伪造 XEB 的难度不小于估计随机量子线路输出振幅的难度，意味着 XEB 伪造不存在特殊捷径。
• 该结果对含噪声的线路也成立，因为 XQUATH 假设与噪声模型无关，且该证明适用于去极化噪声及其他实际场景。