[论文解读] On the classical limit of the hyperbolic quantum mechanics

Andrei Yu. Khrennikov|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2004

Algebraic and Geometric Analysis被引用 3

一句话总结

本文证明了在双曲代数上的希尔伯特模中形式化的双曲量子力学具有经典极限，该极限通过泊松括号的形变恢复了经典力学。通过使用莫伊尔形变量子化的双曲类比，表明当普朗克常数 $ h \to 0 $ 时，双曲莫伊尔括号收敛于标准泊松括号，从而表明经典力学存在两种不同的形变：一种通过复量子力学，另一种通过双曲量子力学，分别对应于概率振幅中的 $ \text{cos} $-和 $ \text{cosh} $-干涉。

ABSTRACT

We demonstrated that classical mechanics have, besides the well known quantum deformation, another deformation -- so called hyperbolic quantum mechanics. The classical Poisson bracket can be obtained as the limit $h o 0$ not only of the ordinary Moyal bracket, but also hyperbolic analogue of the Moyal bracket. Thus there are two different deformations of classical phase-space: complex Hilbert space and hyperbolic Hilbert space (module over a so called hyperbolic algebra -- the two dimensional Clifford algebra). To prove the correspondence principle we use the calculus over the hyperbolic algebra similar to functional superanalysis of Vladimirov-Volovich. Ordinary (complex) and hyperbolic quantum mechanics are characterized by two types of interference perturbation of the classical formula of total probability: ordinary $\cos$-interference and hyperbolic $\cosh$-interference.

研究动机与目标

• 研究基于双曲希尔伯特空间的非标准经典力学形变的双曲量子力学的经典极限。
• 将形变量子化的框架扩展至双曲代数（二维克利福德代数），并定义双曲莫伊尔括号。
• 证明该双曲形变的经典极限可恢复标准泊松括号，从而重现普通经典力学。
• 阐明概率振幅中双曲干涉（$ \text{cosh} $-项）的作用及其与经典极限的关系。
• 为无限维相空间中双曲代数上的伪微分算子和傅里叶变换建立数学基础。

提出的方法

• 在双曲代数 $ \bf{G} $ 上发展了伪微分算子的微分学，将莫伊尔形式化推广至双曲希尔伯特模。
• 通过傅里叶变换与超分布的配对，在符号 $ a(q,p) \to E(Q \times P, \bf{G}) $ 上定义双曲莫伊尔括号。
• 引入无限维相空间 $ Q \times P $，其中 $ Q $ 为一致局部凸空间，$ P = Q^* $，具有对偶配对 $ (p,q) $。
• 使用傅里叶变换 $ \tilde{v}(y) = \text{Re} \big[ \tilde{v}(dy) \big] $ 表示 $ E(Y, \bf{G}) $ 中的函数，从而通过振荡积分定义算子。
• 通过符号空间中的卷积构造算子乘积：$ a = a_1 * a_2 $，涉及相位因子 $ e^{j h^{-1} (p_2, q_1)} $。
• 证明双曲莫伊尔括号 $ \tilde{\bullet}_*(h) $ 在 $ h \to 0 $ 时收敛于标准泊松括号 $ \tilde{\bullet} $，从而确立经典极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过形变量子化严格定义双曲量子力学的经典极限？
• RQ2 在 $ h \to 0 $ 极限下，双曲莫伊尔括号是否收敛于标准泊松括号？
• RQ3 双曲相空间形变与标准复量子形变相比有何异同？
• RQ4 在双曲量子形式体系中，$ \text{cosh} $-干涉在总概率公式中起何作用？
• RQ5 超伪微分算子的框架能否推广至双曲超代数？其是否产生与泊松括号一致的形变？

主要发现

• 双曲量子力学的经典极限即为经典力学，因为双曲莫伊尔括号在 $ h \to 0 $ 时收敛于标准泊松括号。
• 双曲莫伊尔括号通过 $ E(Q \times P, \bf{G}) $ 上的傅里叶变换定义，符号以超分布表示，确保了数学一致性。
• 算子复合规则 $ \tilde{a} = \tilde{a}_1 \tilde{a}_2 $ 通过涉及相位 $ e^{j h^{-1} (p_2, q_1)} $ 的卷积实现，推广了标准莫伊尔乘积。
• 对应原理成立：当 $ h \to 0 $ 时，$ \frac{1}{ih} \tilde{\bullet}_*(h) \to \tilde{\bullet} $，确认了经典极限。
• 双曲形变导致总概率公式中出现 $ \text{cosh} $-干涉，与标准量子力学中的 $ \text{cos} $-干涉截然不同。
• 该框架可推广至无限维相空间与超代数，在此情形下，双曲莫伊尔超括号被证明是超空间上普通泊松括号的形变。