[论文解读] On the classification of surfaces of general type with non-birational bicanonical map and Du Val Double planes

Giuseppe Borrelli|ArXiv.org|Dec 18, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 6

一句话总结

该论文通过证明具有非双有理的两倍 canonical 映射的极小一般型表面，要么具有一个亏格为3的双椭圆线性系统，要么是杜瓦勒双平面的光滑极小模型——具体而言，是关于具有指定奇点的曲线的平面或赫兹布吕希表面的双覆盖。关键结果建立了三个条件的等价性：两倍 canonical 映射通过到有理面或纤维曲面的2度映射分解，通过到有理面的分解，以及成为杜瓦勒双平面，前提是满足正则性和非标准情形假设。

ABSTRACT

We classify surfaces of general type whose bicanonical map is composed with a rational map of degree 2 onto a rational or ruled surface.

研究动机与目标

• 分类极小一般型表面，其两倍 canonical 映射非双有理，特别是当该映射通过2度有理映射分解时。
• 将杜瓦勒在1950年代关于双平面构造的猜想扩展至在正则性和非标准情形假设下的完整分类。
• 确定两倍 canonical 映射何时通过到有理面或纤维曲面的2度映射分解，并刻画由此产生的曲面。
• 识别此类曲面的几何结构，特别是存在具有双椭圆纤维的有理线性系统。

提出的方法

• 通过线性系统 |2K_S| 和分解 |K_S| = |M| + F（其中 |M| 为移动部分）分析两倍 canonical 映射 φ₂K: S ⇢ S₂。
• 利用若 φ₂K 非双有理且 S 正则，则一般 canonical 曲线 M 为双椭圆的性质，推得 φ₂K 是到曲面 S₂ 的2度态射。
• 应用不等式 2K_S² < 2N - 2（其中 N = K_S² + p_g(S)）以证明 S₂ 为有理面或纤维曲面，并推得当 q(S) = 0 时 S₂ 为有理面。
• 应用文献 [18] 和 [11] 的结果，排除非有理 S₂ 的情形，除非 K_S² = 3 或 4，且证明 K_S² = 4 不可能。
• 利用杜瓦勒双平面的结构——即关于具有特定奇点（如 (2n+2)-重点、[5,5]-点）的曲线的 ℙ² 或 ℱ₂ 的双覆盖——对所有此类曲面进行分类。
• 应用有理线性系统与基点的理论，刻画两倍 canonical 映射在一般纤维上的行为，特别是当其诱导双椭圆对合时。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，极小一般型曲面的两倍 canonical 映射非双有理，且通过到有理面或纤维曲面的2度映射分解？
• RQ2 在何种条件下，此类曲面是杜瓦勒双平面的光滑极小模型？
• RQ3 此类曲面必须具备哪些几何结构（如：有理线性系统、双椭圆纤维）？
• RQ4 K_S² 与 p_g(S) 的取值如何约束杜瓦勒双平面上分支曲线的可能配置？

主要发现

• 当曲面正则且不在标准亏格2线性系统情形下时，两倍 canonical 映射 φ₂K 非双有理当且仅当其通过到有理面的2度映射分解。
• 所有此类曲面均为类型 𝒟ₙ、ℱ₂ 或 ℙ² 的杜瓦勒双平面的光滑极小模型，其分支曲线具有指定奇点，包括 (2n+2)-重点和 [5,5]-点。
• 当 K_S² = 8 且 p_g(S) = 6，或 K_S² = 2 且 p_g(S) = 3 时，曲面无双椭圆线性系统，且 K_S 为ample。
• 在其他所有情形下，存在一个有理线性系统 |H|，其一般成员为亏格3的光滑双椭圆曲线，且 φ₂K 在 H 上诱导双椭圆对合。
• 当 n ≤ 1 时，线性系统 |H| 有一个基点；当 n ≥ 2 时，|H| 无基点且有 n 个二重纤维。
• 该分类包括所有满足 p_g(S) ≥ 2 且 φ₂K 非双有理的正则曲面，并在2度映射假设下扩展至 p_g(S) = 1 且 q(S) = 0 的情形。