[论文解读] On the classifying space of the family of virtually cyclic subgroups

Wolfgang Lueck, Michael Weiermann|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 13

一句话总结

本文计算了各类群（包括拟多-\(\mathbb{Z}\)、字超曲面群以及可数局部拟循环群）的拟循环子群族的分类空间的最小同伦维数，记为 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$。在条件 $M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}}$ 下，证明了 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) + 1$，并构造了具体例子，显示拟循环族与有限族分类空间维数之差为 $-1$、$0$ 或 $1$，表明在许多情况下这些是唯一可能的取值。

ABSTRACT

We study the minimal dimension of the classifying space of the family of virtually cyclic subgroups of a discrete group. We give a complete answer for instance if the group is virtually poly-Z, word-hyperbolic or countable locally virtually cyclic. We give examples of groups for which the difference of the minimal dimensions of the classifying spaces of virtually cyclic and of finite subgroups is -1, 0 and 1, and show in many cases that no other values can occur.

研究动机与目标

• 计算离散群 $G$ 的拟循环子群族的分类空间的最小同伦维数 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$。
• 理解 $\underline{\underline{E}}G$ 的几何与同伦性质，并将其与群论不变量联系起来。
• 确定 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ 与 $\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ 之间可能的差值，并证明在许多情况下仅 $-1$、$0$ 和 $1$ 可能出现。
• 为拟多-\(\mathbb{Z}\) 群提供 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ 的完整计算，并构造具有受控维数差的显式例子。

提出的方法

• 构建一个 $G$-上积图，关联 $\underline{E}G$、$\underline{\underline{E}}G$ 以及极大拟循环子群的正规化子与 Weyl 群的模型。
• 引入条件 $(M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$，确保每个无限拟循环子群都包含于唯一的极大子群中，从而实现 $\underline{\underline{E}}G$ 的结构分解。
• 使用条件 $(N\!M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$，即正规化子等于子群本身，以简化构造并推导维数界。
• 应用 Atiyah-Hirzebruch 族谱序列分析等变同调群，并将 $H^V_*(\underline{E}V \to \{\bullet\})$ 与 $K$-理论和 $L$-理论中的 Nil-项联系起来。
• 利用归纳与限制函子，将 $N_GV$-等变同调与 $V$-等变同调联系起来，建立 $W_GV$ 在 Nil-项上的作用。
• 分析定向群列的并的情形，从 $\underline{\underline{E}}G_i$ 的模型构建 $\underline{\underline{E}}G$ 的模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意离散群 $G$，其最小可能的同伦维数 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ 是多少？
• RQ2 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ 与 $\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ 有何关系？可建立哪些界？
• RQ3 在哪些群中 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ 是有限的？在拟多-\(\mathbb{Z}\) 或字超曲面群等关键类中，其精确值是什么？
• RQ4 差值 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) - \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ 的可能取值有哪些？该差值是否可以任意大？
• RQ5 $K$-理论与 $L$-理论的装配映射如何通过 Nil-项与 $\underline{\underline{E}}G$ 的几何相关联？

主要发现

• 对于满足 $(M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$ 的任意群 $G$，有 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) + 1$。
• 若 $G$ 满足 $(N\!M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$，则当 $\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) \geq 2$ 时，有 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) = \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$；否则 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) \leq 2$。
• 对于闭双曲 3-流形的基本群 $\pi$，有 $\operatorname{vcd}(\pi) = \dim(N) = \operatorname{hdim}^\pi(\underline{E}\pi) = \operatorname{hdim}^\pi(\underline{\underline{E}}\pi)$，这与 Connolly-Fehrmann-Hartglass 的一个猜想相矛盾。
• 对于三维 Heisenberg 群 $\operatorname{Hei}$，存在自同构 $f_k$，使得对 $k = -1, 0, 1$，有 $\operatorname{hdim}^{\operatorname{Hei} \rtimes_{f_k} \mathbb{Z}}(\underline{\underline{E}}(\operatorname{Hei} \rtimes_{f_k} \mathbb{Z})) = 4 + k$。
• 差值 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) - \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ 可以是 $-1$、$0$ 或 $1$，在许多情况下（包括拟多-\(\mathbb{Z}\) 群）不会取其他值。
• 对于 $G = \operatorname{Hei} \rtimes_f \mathbb{Z}$，有 $\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) = 4$ 对所有 $f$ 成立，但 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) = 3, 4, 5$ 依 $f$ 而变，表明 $\underline{\underline{E}}G$ 的维数依赖于作用的动力学性质。