[论文解读] On the Closed-Form Solution of a Nonlinear Difference Equation and Another Proof to Sroysang's Conjecture

Julius Fergy T. Rabago|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2016

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过基于变换的分析，为非线性差分方程 $ x_{n+1} = \frac{1}{\pm 1 + x_n} $ 推导出闭式解，提供了对先前通过数学归纳法获得的公式之理论解释。随后，利用该解，为Sroysang猜想提供了另一种证明，表明对于任意满足 $ f(x+2k) = f(x+k) + f(x) $ 的实函数 $ f $，当 $ x \to \infty $ 时，比值 $ \frac{f(x+k)}{f(x)} \to \phi $，其中 $ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ 为黄金分割比。

ABSTRACT

The purpose of this paper is twofold. First, we derive theoretically, using appropriate transformation on $x_n$, the closed-form solution of the nonlinear difference equation \[ x_{n+1} = \frac{1}{\pm 1 + x_n},\qquad n\in \mathbb{N}_0. \] We mention that the solution form of this equation was already obtained by Tollu et al. in 2013, but through induction principle, and one of our purpose is to clearly explain how was the formula appeared in such structure. After that, with the solution form of the above equation at hand, we prove a case of Sroysang's conjecture (2013); i.e., given a fixed positive integer $k$, we verify the validity of the following claim: \[ \lim_{x ightarrow \infty}\left\{ \frac{f(x+k)}{f(x)} ight\}= ϕ, \] where $ϕ=(1+\sqrt{5})/2$ denotes the well-known golden ratio and the real valued function $f$ on $\mathbb{R}$ satisfies the functional equation $f(x+2k)=f(x+k) + f(x)$ for every $x\in \mathbb{R}$. We complete the proof of the conjecture by giving out an entirely different approach for the other case.

研究动机与目标

• 提供非线性差分方程 $ x_{n+1} = \frac{1}{\pm 1 + x_n} $ 的闭式解的理论推导，解释该公式在归纳法之外的来源。
• 为Sroysang关于具有周期 $ k $ 的Fibonacci型函数渐近行为的猜想提供另一种证明，特别是 $ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x+k)}{f(x)} = \phi $。
• 将该方法扩展至奇Fibonacci函数和Horadam型函数，验证Sroysang第二猜想的推广形式。
• 阐明不动点与奇点在差分方程中的作用，如被排除的初值 $ x_0 \in \{\alpha^{-1}, \beta^{-1}\} \cup \{-\varphi_m\} $，以确保解的良定义性。

提出的方法

• 对非线性差分方程 $ x_{n+1} = \frac{1}{\pm 1 + x_n} $ 应用变换，推导其以Fibonacci数表示的闭式解。
• 利用变换后方程的解，建立比值序列 $ g_n = \frac{f(x + nk)}{f(x + (n+1)k)} $ 的模型，将其与差分方程 $ g_{n+1} = \frac{1}{1 + g_n} $ 联系起来。
• 利用连分数性质及 $ \phi - 1 = [0;1,1,1,\ldots] $ 的事实，分析 $ g_n $ 收敛于 $ \phi - 1 $ 的过程，从而得出 $ \lim_{n \to \infty} g_n = \phi - 1 $。
• 利用关系式 $ \frac{f(x+k)}{f(x)} = \frac{1}{g_n} $ 推出 $ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x+k)}{f(x)} = \phi $，因为 $ \frac{1}{\phi - 1} = \phi $。
• 通过利用恒等式 $ w_{-n} = (-1)^{n+1} w_n $，将该方法扩展至奇Horadam函数，并应用 $ h_{n+1} = \frac{q}{-p + h_n} $ 的解形式，以验证Sroysang的第二猜想。
• 运用初等分析与Cantor交集定理，严格建立包含 $ g_n $ 的嵌套区间的收敛性，确认其极限行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过理论方法而非数学归纳法，推导出非线性差分方程 $ x_{n+1} = \frac{1}{\pm 1 + x_n} $ 的闭式解？
• RQ2 对于满足 $ f(x+2k) = f(x+k) + f(x) $ 的函数 $ f $，其比值 $ \frac{f(x+k)}{f(x)} $ 是否在 $ x \to \infty $ 时收敛于黄金分割比 $ \phi $，且能否独立于先前方法加以证明？
• RQ3 该分析方法是否可推广至奇Fibonacci函数和具有周期 $ k $ 的Horadam函数？是否验证了Sroysang的第二猜想？
• RQ4 在差分方程良定义性的背景下，被排除的初值如 $ \alpha^{-1}, \beta^{-1} $ 以及 $ \{-\varphi_m\} $ 的意义是什么？
• RQ5 连分数表示与嵌套区间性质如何支持 $ g_n $ 收敛于 $ \phi - 1 $，这与黄金分割比有何关联？

主要发现

• 通过变换推导出 $ x_{n+1} = \frac{1}{\pm 1 + x_n} $ 的闭式解，得到 $ x_n = \frac{F_{\pm n} + F_{\pm(n-1)}x_0}{F_{\pm(n+1)} + F_{\pm n}x_0} $，从而在归纳法之外解释了该公式的来源。
• 序列 $ g_n = \frac{f(x + nk)}{f(x + (n+1)k)} $ 随 $ n \to \infty $ 收敛于 $ \phi - 1 $，这是由于 $ \phi - 1 $ 的连分数表示，从而推出 $ \frac{f(x+k)}{f(x)} \to \phi $。
• 对于任意满足Fibonacci函数方程 $ f(x+2k) = f(x+k) + f(x) $ 的实函数 $ f $，渐近比 $ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x+k)}{f(x)} = \phi $ 被严格证明，从而确认了Sroysang的猜想。
• 该方法可扩展至奇Fibonacci函数，证明对于具有周期 $ k $ 的奇Horadam函数，有 $ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x+k)}{f(x)} = -\phi $，从而将Sroysang的第二猜想作为特例得到验证。
• 通过嵌套区间性质及 $ g_n $ 位于区间 $ \left[\frac{F_n}{F_{n+1}}, \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}\right] $ 或其逆区间（取决于奇偶性）的事实，建立了 $ g_n $ 的收敛性，且 $ \frac{F_n}{F_{n+1}} \to \phi^{-1} = \phi - 1 $。
• 该方法被推广至具有负下标的Horadam函数，利用恒等式 $ w_{-n} = (-1)^{n+1} w_n $，并结合 $ h_{n+1} = \frac{q}{-p + h_n} $ 的解，确认了偶数与奇数情形下分别收敛于 $ \pm \phi $。