[论文解读] On the Closed-form Weight Enumeration of Polar Codes: 1.5$d$-weight Codewords

Mohammad Rowshan, Vlad Drăgoi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2023

Coding theory and cryptography被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于极化码及其他递减单项式码中1.5×w_min权重码字的闭式枚举公式，利用下三角仿射（LTA）群与轨道的闵可夫斯基和。通过分析核集的交集并应用碰撞折扣机制，作者推导出仅依赖于最高次单项式的确切计数，扩展了以往仅限于最小权重码字的研究。

ABSTRACT

The weight distribution of error correction codes is a critical determinant of their error-correcting performance, making enumeration of utmost importance. In the case of polar codes, the minimum weight $\wm$ (which is equal to minimum distance $d$) is the only weight for which an explicit enumerator formula is currently available. Having closed-form weight enumerators for polar codewords with weights greater than the minimum weight not only simplifies the enumeration process but also provides valuable insights towards constructing better polar-like codes. In this paper, we contribute towards understanding the algebraic structure underlying higher weights by analyzing Minkowski sums of orbits. Our approach builds upon the lower triangular affine (LTA) group of decreasing monomial codes. Specifically, we propose a closed-form expression for the enumeration of codewords with weight $1.5\wm$. Our simulations demonstrate the potential for extending this method to higher weights.

研究动机与目标

• 解决长期存在的极化码中高于最小权重码字的枚举难题。
• 将已知的最小权重码字闭式公式扩展至1.5×w_min权重码字。
• 利用代数结构与群作用，为递减单项式码中的权重枚举建立系统性框架。
• 为极化码的代数性质提供洞见，以指导更优的码构造与译码。

提出的方法

• 该方法基于递减单项式码的下三角仿射（LTA）群，分析码字的结构。
• 利用轨道的闵可夫斯基和来建模由最小权重码字对构成的1.5×w_min权重码字的形成过程。
• 应用Kasami与Tokura的分类定理，以表征权重小于2×w_min的码字。
• 通过考虑核集交集并避免因碰撞导致的重复计数，计算此类码字的数量。
• 关键公式为 A_{1.5w_min}{f,g} = 2^{|K_f| + |K_g| - (r-2) - |K_f ∩ K_g|}，用于校正陪集重叠行的影响。
• 该方法依赖于识别来自不同陪集的码字支持中匹配的二进制位，以确保正确形成权重。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用代数结构系统性地枚举极化码中1.5×w_min权重的码字？
• RQ2 LTA群在高权重码字的形成与枚举中起到何种作用？
• RQ3 陪集之间核集交集如何导致重复计数，又如何在枚举过程中加以校正？
• RQ4 能否将最小权重码字的闭式公式扩展至1.5×w_min权重码字？
• RQ5 1.5×w_min权重码字的数量对码生成结构中最高次单项式有何依赖？

主要发现

• 本文推导出递减单项式码中1.5×w_min权重码字数量的闭式表达式，适用于任意极化码。
• 此类码字的数量由 A_{1.5w_min}{f,g} = 2^{|K_f| + |K_g| - (r-2) - |K_f ∩ K_g|} 给出，该公式考虑了核集大小及其交集。
• 对于m=7、r=4、f=104、g=84的(128,64)极化码，1.5×w_min权重码字的数量为512。
• 当 |ind(g)\ind(f)| = 2 且 r=2 时，公式简化为 A_{1.5w_min}{f,g} = 2^4 × 2^4 × 2^{-2} = 64。
• 该方法正确处理了核集中重叠行导致的碰撞问题，通过扣除 2^{|K_f ∩ K_g|} 个冗余码字来减少重复计数。
• 该框架在原则上可扩展至更高权重（如2×w_min及以上），通过递归应用相同原理实现。