[论文解读] On the CNOT-cost of TOFFOLI gates

Vivek Shende, Igor L. Markov|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2008

Advancements in Semiconductor Devices and Circuit Design被引用 8

一句话总结

本文通过证明任意不使用辅助量子比特实现n量子比特Toffoli门的量子电路至少需要2n个CNOT门，从而确立了Toffoli门的CNOT代价最优性，其中三量子比特情形恰好需要六个CNOT门——与文献中已知的分解一致。证明利用了Cartan分解，特别是余弦-正弦分解和去复用分解，推导出电路约束，并借助这些形式的规范性，通过CZ计数技术界定CNOT门数量。

ABSTRACT

The three-input TOFFOLI gate is the workhorse of circuit synthesis for classical logic operations on quantum data, e.g., reversible arithmetic circuits. In physical implementations, however, TOFFOLI gates are decomposed into six CNOT gates and several one-qubit gates. Though this decomposition has been known for at least 10 years, we provide here the first demonstration of its CNOT-optimality. We study three-qubit circuits which contain less than six CNOT gates and implement a block-diagonal operator, then show that they implicitly describe the cosine-sine decomposition of a related operator. Leveraging the canonicity of such decompositions to limit one-qubit gates appearing in respective circuits, we prove that the n-qubit analogue of the TOFFOLI requires at least 2n CNOT gates. Additionally, our results offer a complete classification of three-qubit diagonal operators by their CNOT-cost, which holds even if ancilla qubits are available.

研究动机与目标

• 确定在不使用辅助量子比特的量子电路中实现n量子比特Toffoli门所需的最少CNOT门数量。
• 证明三量子比特Toffoli门的标准六CNOT分解在CNOT数量上是最优的。
• 开发一种基于Cartan分解及其规范性的方法，用于小规模量子电路的CNOT计数。
• 即使在有辅助量子比特的情况下，也对三量子比特对角算符按其CNOT代价进行分类。
• 将分析扩展至含辅助量子比特的电路，确定在这些条件下CCZ门和Peres门的CNOT代价。

提出的方法

• 在SU(2^n)中使用KAK（Cartan）分解，将奇异值分解推广至量子电路。
• 应用余弦-正弦分解和去复用分解，推导出对电路结构和门位置的约束。
• 利用Cartan分解的规范性，限制单量子比特门的数量，并缩小电路拓扑搜索空间。
• 引入量子比特局部的CZ代价，并利用去复用分解中的谱不变量，对CNOT数量进行下界估计。
• 通过电路方程的矩阵项分析推导门约束，将先前针对两量子比特的结果推广至n量子比特系统。
• 使用推论13消除非对角单量子比特门，并重构电路以隔离关键的CNOT门依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不使用辅助量子比特的情况下，实现n量子比特Toffoli门所需的最少CNOT门数量是多少？
• RQ2 三量子比特Toffoli门的六CNOT分解在CNOT数量上是否最优？
• RQ3 即使在有辅助量子比特的情况下，是否可以完全对三量子比特对角算符的CNOT代价进行分类？
• RQ4 Cartan分解——特别是余弦-正弦分解和去复用分解——如何实现对量子电路中CNOT计数的严格分析？
• RQ5 当允许使用辅助量子比特时，受控-受控-Z（CCZ）门和Peres门的CNOT代价是多少？

主要发现

• 在不使用辅助量子比特的情况下，n量子比特Toffoli门至少需要2n个CNOT门，从而确立了一个紧致的下界。
• 对于三量子比特Toffoli门，其CNOT代价恰好为六，且即使在有辅助量子比特时该下界依然成立。
• 在使用辅助量子比特的条件下，CCZ门的CNOT代价为六，Peres门的CNOT代价为五。
• 该分析对三量子比特对角算符按其CNOT代价进行了完整分类，即使在存在辅助量子比特的情况下也成立。
• 该证明表明，Toffoli门的标准六CNOT分解在CNOT代价上是最优的，解决了Nielsen和Chuang教科书中的一个开放问题。
• 该方法表明，结合Cartan分解的规范性，量子比特局部的CZ计数可实现对CNOT计数的严格分析，并为一般n量子比特算符提供线性下界。