[论文解读] On the Cobordism Class of the Hilbert Scheme of a Surface

Geir Ellingsrud, Lothar Göttsche+1 more|ArXiv.org|Apr 19, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 175

一句话总结

本文证明了光滑射影曲面的点的希尔伯特概形的cobordism类的生成函数仅依赖于该曲面本身的cobordism类。通过使用环面作用和Bott余项公式，作者计算了这些希尔伯特概形上典范丛的陈数和全纯欧拉示性数，证明了当 $ n \leq 7 $ 时，所有陈数均为 $ c_1(S)^2 $ 和 $ c_2(S) $ 的非负系数多项式。

ABSTRACT

Let S be a smooth projective surfaces and S^[n] the Hilbert scheme of zero-dimensional subschemes of S of length n. We proof that the class of S^[n] in the complex cobordism ring depends only on the class of the surface itself. Moreover, we compute the cohomology and holomorphic Euler characterisitcs of certain tautological sheaves on S^[n] and prove results on the general structure of certain integrals over polynomials in Chern classes of tautological sheaves.

研究动机与目标

• 证明生成函数 $ H(S) = \sum_{n=0}^\infty [S^{[n]}] z^n $ 在复cobordism环中仅依赖于 $[S] \in \Omega_2$ 的cobordism类。
• 计算 $ n \leq 7 $ 时 $ S^{[n]} $ 的陈数，证明其为 $ c_1(S)^2 $ 和 $ c_2(S) $ 的非负系数多项式。
• 通过谱序列和Künneth公式，确定希尔伯特概形 $ S^{[n]} $ 上典范层 $ F^{[n]} $ 的全纯欧拉示性数。
• 利用生成元的乘法性质和不动点计算，为 $ H(S) $ 的 $ \chi_{-y} $-生成函数公式提供新证明。
• 通过显式计算 $ n \leq 6 $ 时的陈数，验证 $ K3 $ 曲面的椭圆亏格猜想。

提出的方法

• 利用 $ H(S) $ 在 $ \Omega[[z]] $ 中是可逆元的事实，通过生成元的乘法结构证明其对 $[S]$ 的依赖性。
• 应用Bott余项公式，通过分析 $ \mathbb{C}\mathbb{P}^2 $ 和 $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ 上具有有限个不动点的环面作用，计算 $ S^{[n]} $ 的陈数。
• 使用Maple程序对 $ n \leq 7 $ 的陈数进行显式计算，利用所有此类陈数均为 $ c_1(S)^2 $ 和 $ c_2(S) $ 的多项式这一事实。
• 通过涉及希尔伯特-蔡豪同态和全纯族的交换图，利用谱序列和Künneth公式计算 $ \chi(F^{[n]}) $。
• 利用高阶直接像 $ R^i f_* \mathcal{O}_{S^{[n]}} $ 的消失性以及同构 $ Z_n \cong S^{(n-1)} \times S $，将 $ F^{[n]} $ 的上同调与 $ S^{[n-1]} \times S $ 的上同调联系起来。
• 利用生成元的乘法性质，通过在 $ \mathbb{P}^2 $ 和 $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ 上验证其在 $ \mathbb{C}^* $-作用下给出显式贝蒂数公式，来验证 $ \chi_{-y} $-生成函数公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特概形 $ S^{[n]} $ 的cobordism类是否仅依赖于曲面 $ S $ 的cobordism类？
• RQ2 是否可以对所有 $ n \leq 7 $ 统一计算 $ S^{[n]} $ 的陈数，且其是否可表示为 $ c_1(S)^2 $ 和 $ c_2(S) $ 的非负系数多项式？
• RQ3 $ S^{[n]} $ 上典范层 $ F^{[n]} $ 的全纯欧拉示性数 $ \chi(F^{[n]}) $ 是什么？其与 $ \chi(F) $ 及 $ S $ 的贝蒂数有何关系？
• RQ4 $ H(S) $ 的 $ \chi_{-y} $-生成函数是否满足涉及 $ \chi_{-y^m}(S) $ 的指数公式，且能否通过生成元的乘法性证明？
• RQ5 是否可通过显式计算 $ n \leq 6 $ 时 $ S^{[n]} $ 的陈数，验证 $ K3 $ 曲面的椭圆亏格猜想？

主要发现

• 生成函数 $ H(S) $ 仅依赖于 $[S]$，因此当 $[S] = a_1[S_1] + a_2[S_2]$ 对有理数 $ a_1, a_2 $ 成立时，有 $ H(S) = H(S_1)^{a_1} H(S_2)^{a_2} $。
• 当 $ S $ 为 $ K3 $ 曲面且 $ n \leq 4 $ 时，$ S^{[n]} $ 的陈数为：$ (4) = 324 $，$ (2^2) = 828 $，$ (6) = 3200 $，$ (4,2) = 14720 $，$ (2^3) = 36800 $，$ (8) = 25650 $，$ (6,2) = 182340 $，$ (4^2) = 332730 $，$ (4,2^2) = 813240 $，$ (2^4) = 1992240 $。
• 典范丛 $ F^{[n]} $ 的全纯欧拉示性数满足 $ \chi(F^{[n]}) = \chi(F) \binom{\chi(\mathcal{O}_S) + n - 2}{n - 1} $。
• $ H(S) $ 的 $ \chi_{-y} $-生成函数由指数公式给出：$ \chi_{-y}(H(S)) = \exp\left( \sum_{m=1}^\infty \frac{\chi_{-y^m}(S)}{1 - (yz)^m} \frac{z^m}{m} \right) $，该公式通过在 $ \mathbb{P}^2 $ 和 $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ 上的不动点计算得到验证。
• $ \phi_{N,k} $ 满足 $ \phi_{N,k}(H(S)) = \frac{1}{(1 - t)^{\phi_{N,k}(S)}} $，当 $ \omega_S $ 允许 $ N $ 次根时成立。
• 所有 $ n \leq 7 $ 时 $ S^{[n]} $ 的陈数均为 $ c_1(S)^2 $ 和 $ c_2(S) $ 的非负系数多项式，此性质由 G. Thompson 观察到，并由 G. Höhn 用于验证 $ K3 $ 曲面在 $ n \leq 6 $ 时的椭圆亏格猜想。