[论文解读] On the codimension of the singular locus

David Kazhdan, Tamar Ziegler|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文建立了确保由有界次数多项式定义的完全交的奇异点集的余维数至少为 m 所需的非经典秩的显式双指数上界。通过使用多重线性型、分析秩和划分秩技术，作者证明：若一族多项式的非经典秩超过 γ(c,d)(1+m)^γ(c,d)，则奇异点集的余维数至少为 m，将先前的定性结果推广为有效界。

ABSTRACT

Let $k$ be a field and $V$ an $k$-vector space. For a family $\bar P=\{ P_i\}_{1\leq i\leq c}, $ of polynomials on $V$, we denote by $\mathbb X _{\bar P}\subset V$ the subscheme defined by the ideal generated by $ \bar P$. We show the existence of $γ(c,d)$ such that the varieties $\mathbb X_{\bar P}$ are smooth outside of codimension $m$, if deg$(P_i)\leq d$ and rank (strength) $r_{nc}(\bar P)\geq γ(d,c) (1+m)^{γ(d,c)}$.

研究动机与目标

• 提供一个显式、有效的非经典秩上界，以保证完全交的奇异点集的余维数至少为 m。
• 将先前关于此类上界存在的定性结果推广为关于次数 d、多项式数量 c 和期望余维数 m 的显式、定量函数。
• 建立一个统一的函数 γ(c,d)，使得若一族多项式的 nc-秩超过 γ(c,d)(1+m)^γ(c,d)，则奇异点集的余维数 ≥m。
• 利用高阶傅里叶分析中的工具，包括分析秩和划分秩，来控制与多项式组相关联的微分映射的纤维维数。
• 通过构造一个合适的投影映射，将单个多项式的情形扩展到多项式组的情形，其纤维包含奇异点集。

提出的方法

• 将子概形 X_P 的奇异点集定义为微分映射 dP 的零点集，并通过提升 dP̃(v) = (P(v), dP(v)) 将奇异点刻画为零的原像。
• 将非经典秩 r_nc(P) 定义为关联的多重线性对称型 P̃: V^d → k 的秩，该秩控制了 P 的复杂度。
• 对于多项式组，定义微分映射 dP̄: V → (Λ^c V)^∨，并利用提升 dP̄̃(v) = (P̄(v), dP̄(v)) 将奇异点集刻画为零的原像。
• 构造一个大子空间 L ⊂ Λ^c V，使得复合映射 p_L ∘ dP̄̃ 的分析秩大于 dim(L)，从而保证其纤维维数为 dim(V) - dim(L)。
• 使用傅里叶分析和 Gowers 一致性范数来界定与多重线性型相关的指数和的期望值，将分析秩与划分秩联系起来。
• 应用抽屉原理和反证法，证明：若 nc-秩过小，则某些多重线性型必具有低划分秩，从而与高秩假设矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有界次数的多项式组，确保奇异点集余维数至少为 m 所需的最小非经典秩是多少？
• RQ2 能否将关于光滑性阈值存在的定性结果强化为以 m、d 和 c 表示的显式、有效界？
• RQ3 与多项式相关的多重线性型的划分秩如何与奇异点集的余维数相关？
• RQ4 分析秩估计在代数几何中控制微分映射纤维维数的适用程度如何？
• RQ5 是否存在一个统一函数 γ(c,d)，使得 γ(c,d)(1+m)^γ(c,d) 足够保证任意 c 个次数 ≤d 的多项式组的奇异点集余维数 ≥m？

主要发现

• 本文建立了函数 γ(c,d) 的存在性，使得若 c 个次数 ≤d 的多项式族的非经典秩至少为 γ(c,d)(1+m)^γ(c,d)，则奇异点集的余维数至少为 m。
• 界 γ(c,d)(1+m)^γ(c,d) 在 d 和 c 上为双指数形式，反映了其对多项式数量和次数的依赖性。
• 证明的关键在于：若 nc-秩过小，则某些多重线性型必具有低划分秩，从而通过傅里叶分析估计导致矛盾。
• 作者推导出与多重线性型相关的指数和的 Gowers 一致性范数的定量界，该界控制了分析秩，从而控制了划分秩。
• 关键技术步骤是利用抽屉原理，找出一组足够大的参数，使得这些多重线性型表现出低划分秩，从而与高秩假设矛盾。
• 该结果将先前的定性结果（引理 1.1）推广为显式、有效界，提供了高复杂度意味着远离高余维奇异点的原理的定量版本。