[论文解读] On the coefficients of the Baez-Duarte criterion for the Riemann hypothesis and their extensions

Mark W. Coffey|ArXiv.org|Aug 20, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文通过解析研究 $ 1/\zeta(s) $ 的 Pochhammer 多项式展开中的系数 $ c_k $，推广了 Báez-Duarte 对黎曼猜想的判据，将其扩展至狄利克雷 $ L $-函数和赫维茨 zeta 函数，并通过完全贝尔多项式将这些系数与斯蒂尔吉斯常数联系起来。其关键贡献是一个参数化扩展 $ c_k(b,\chi) $，该扩展将这些系数的增长率与广义黎曼猜想联系起来。

ABSTRACT

We present analytic properties and extensions of the constants ck appearing in the Baez-Duarte criterion for the Riemann hypothesis. These constants are the coefficients of Pochhammer polynomials in a series representation of the reciprocal of the Riemann zeta function. We present generalizations of this representation to the Hurwitz zeta and many other special functions. We relate the corresponding coefficients to other known constants including the Stieltjes constants and present summatory relations. In addition, we generalize the Maslanka hypergeometric-like representation for the zeta function in several ways.

研究动机与目标

• 分析 Báez-Duarte 判据中系数 $ c_k $ 的解析性质。
• 将 $ 1/\zeta(s) $ 的 Pochhammer 多项式表示推广至赫维茨 zeta 函数、多重 zeta 函数和狄利克雷 $ L $-函数。
• 利用完全贝尔多项式，将系数 $ c_k $ 与斯蒂尔吉斯常数 $ \gamma_k $ 及其他数论常数联系起来。
• 将 Maślanka 的超几何型表示 $ \zeta(s) $ 推广至更广泛的 $ L $-函数和特殊函数类别。
• 提出一个参数化系数 $ c_k(b,\chi) $，其可能作为广义黎曼猜想的判据。

提出的方法

• 通过级数展开 $ 1/\zeta(s) = \sum_{k=0}^\infty c_k P_k(s/2) $ 推导系数 $ c_k $，其中 $ P_k(s) $ 为 Pochhammer 多项式。
• 使用 Faà di Bruno 公式和指数完全贝尔多项式 $ Y_j $，表达 $ P_k(s/2) $ 在 $ s=1 $ 处的导数。
• 通过在 $ s=1 $ 附近比较 $ 1/\zeta(s) $ 的洛朗级数展开，将 $ c_k $ 与斯蒂尔吉斯常数 $ \gamma_k $ 联系起来。
• 将系数公式推广至 $ c_k(b,\chi) = \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{k}{j} \frac{1}{L(bj+b, \chi)} $，适用于狄利克雷 $ L $-函数。
• 利用 $ \zeta(s) $ 的欧拉乘积表示，将 $ c_k $ 表示为对素数的交替二项式和。
• 对大 $ k $ 使用渐近近似 $ c_k \approx \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^2} e^{-k/n^2} $ 和傅里叶变换表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 Báez-Duarte 判据中的系数 $ c_k $ 的解析行为如何？其与斯蒂尔吉斯常数有何关联？
• RQ2 是否可将 $ 1/\zeta(s) $ 的 Pochhammer 多项式展开推广至赫维茨和 Lerch zeta 函数？
• RQ3 完全贝尔多项式在关联 $ c_k $ 与 $ \zeta(s) $ 的洛朗系数方面起什么作用？
• RQ4 参数化系数 $ c_k(b,\chi) $ 是否可作为狄利克雷 $ L $-函数广义黎曼猜想的等价判据？
• RQ5 系数 $ c_k $ 的渐近行为，特别是振荡分量，与黎曼猜想的真实性有何关系？

主要发现

• 系数 $ c_k $ 满足无条件的 $ c_k = O(k^{-1/2}) $，在黎曼猜想成立下满足 $ c_k = O(k^{-3/4+\epsilon}) $，其中任意 $ \epsilon > 0 $。
• 恒等式 $ \sum_{k=0}^\infty \frac{\Gamma(k+1/2)}{k!} c_k = 0 $ 成立，反映了 $ \zeta(s) $ 在 $ s=1 $ 处的一阶极点。
• 关系式 $ -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \sum_{k=0}^\infty \frac{\Gamma(k+1/2)}{k!} \psi(k+1/2) c_k = 1 $ 将 $ c_k $ 与 digamma 函数和欧拉常数联系起来。
• 和式 $ \sum_{k=0}^\infty \frac{\Gamma(k+1/2)}{k!} \left[ \psi^2(k+1/2) + \psi'(k+1/2) \right] c_k = -4\sqrt{\pi}(\gamma - 2\ln 2) $ 将 $ c_k $ 与欧拉-马歇罗尼常数联系起来。
• 广义系数 $ c_k(b,\chi) = \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{k}{j} \frac{1}{L(bj+b, \chi)} $ 将 Báez-Duarte 判据推广至狄利克雷 $ L $-函数。
• 在 $ \text{Re}(s) > 1 $ 下，恒等式 $ 1/L(s,\chi) = \sum_{k=0}^\infty c_k(b,\chi) P_k(s/b) $ 成立，暗示其可能构成广义黎曼猜想的潜在判据。