[论文解读] On the cohomological action of automorphisms of compact Kähler threefolds

Federico Bianco|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文建立了紧致凯勒三流形上自同构的上同调作用的精确界限，证明当该作用为拟无幺时，$(f^n)^*$ 的范数至多以 $cn^4$ 的速度增长。此外，本文根据动力度 $ olambda_1(f)$ 和 $ olambda_2(f)$ 描述了 $f^*_2$ 在 $H^2(X,\mathbb{C})$ 上的谱，并确定了 $ olambda_1(f)$ 在 $ olbb{Q}$ 上的伽罗瓦共轭，通过复环面上的显式例子展示了界限的最优性。

ABSTRACT

Extending well-known results on surfaces, we give bounds on the cohomological action of automorphisms of compact Kähler threefolds. More precisely, if the action is virtually unipotent we prove that the norm of $(f^n)^*$ grows at most as $cn^4$; in the general case, we give a description of the spectrum of $f^*$, and bounds on the possible conjugates over $\mathbb Q$ of the dynamical degrees $λ_1(f),λ_2(f)$. Examples on complex tori show the optimality of the results.

研究动机与目标

• 将已知的自同构在上同调作用上的结果从曲面推广至紧致凯勒三流形。
• 确定仅依赖于 $X$ 的复维数、而不依赖贝蒂数的上同调作用 $f^*_2$ 在 $H^2(X,\mathbb{C})$ 上的约束条件。
• 根据动力度 $ olambda_1(f)$ 和 $ olambda_2(f)$ 描述 $f^*_2$ 的谱结构，并对 $ olambda_1(f)$ 在 $ olbb{Q}$ 上的伽罗瓦共轭进行有界。
• 通过紧致复环面上的显式例子证明界限的最优性。

提出的方法

• 利用广义霍奇指标定理与庞加莱对偶性，约束 $f^*$ 在上同调上的作用。
• 应用代数群理论与若尔当代数分解理论，分析 $f^*_2$ 的结构。
• 通过在霍奇分量 $H^{1,1}(X)$ 与 $H^{2,0} \oplus H^{0,2}(X)$ 上对权重与特征值分布的分析，对谱行为进行分类。
• 对若尔当代数块结构使用归纳法与反证法，推导出增长速率与特征值共轭的界限。
• 应用引理 4.0.1 分析上同调类的楔积，检测 $H^4(X,\mathbb{R})$ 中非平凡的若尔当代数块。
• 分析 $H^4(X,\mathbb{R})$ 上的对偶作用 $(f^*_2)^\vee$，通过对偶性与庞加莱对偶性推导对原始作用的约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不依赖贝蒂数的前提下，可对紧致凯勒三流形上自同构的上同调作用 $f^*_2$ 施加哪些约束？
• RQ2 当 $f^*_2$ 为拟无幺时，$\| (f^n)^* \|$ 的增长速率如何？
• RQ3 在动力度 $ olambda_1(f)$ 与 $ olambda_2(f)$ 的表达下，$f^*_2$ 的谱结构的精确形式为何？
• RQ4 第一类动力度 $ olambda_1(f)$ 在 $ olbb{Q}$ 上的可能伽罗瓦共轭有哪些？
• RQ5 上同调作用 $f^*_2$ 是否可能既非拟无幺也非半单？若是，其约束条件为何？

主要发现

• 若 $f^*_2$ 为拟无幺且阶无限，则 $\| (f^n)^* \|$ 的增长至多为 $cn^4$，且通过复环面上的例子表明该界限是紧的。
• 若尔当代数块的最大尺寸至多为 5；当 $ olambda_1(f) = 1$ 时，唯一的最大若尔当代数块的维数为 3 或 5。
• 若 $f^*_2$ 的每个特征值 $\lambda$ 满足 $|\lambda|^{(-2)^N} \in \{1, \lambda_1, \lambda_2^{-1}, \lambda_1^{-1}\lambda_2\}$，其中 $N \geq 0$，则特征值通过迭代平方传播。
• 若 $ olambda_1$ 与 $ olambda_2$ 乘法独立，则 $\nolambda_1$ 与 $\nolambda_2^{-1}$ 是 $f^*_2$ 中模为 $\nolambda_1$ 或 $\nolambda_2^{-1}$ 的唯一特征值。
• 第一类动力度 $ olambda_1(f)$ 是一个代数整数，其在 $ olbb{Q}$ 上的伽罗瓦共轭的模长属于集合 $\{\lambda_1, \lambda_2^{-1}, \lambda_1^{-1}\lambda_2, \sqrt{\lambda_1^{-1}}, \sqrt{\lambda_2}, \sqrt{\lambda_1\lambda_2^{-1}}\}$。
• 上同调作用 $f^*_2$ 不可能既非拟无幺也非半单；若其存在非平凡的若尔当代数块，则 $ olambda_1(f)$ 必须是特征值，且其块的维数至多为 3，且 $ olambda_2(f) = \nolambda_1(f)^2$。