[论文解读] ON THE COHOMOLOGICAL CREPANT RESOLUTION CONJECTURE FOR WEIGHTED PROJECTIVE SPACES

Samuel Boissi Ere, Étienne Mann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文證明了加權射影空間 P(1;3;4;4) 和 P(1,…,1;n) 的修正版上同調型撓曲面解析猜想，透過 Gromov-Witten 不变量定義變形，建立 Gorenstein 軌物與其撓曲面解析覆蓋之間的軌物上同調環與量子修正上同調環之間的同構。此結果支持了軌物與撓曲面解析覆蓋情境下的廣義 McKay 對應。

ABSTRACT

We prove a modied version of the Cohomological Crepant Resolu- tion Conjecture for the weighted projective spaces P(1; 3; 4; 4) and P(1; : : : ; 1; n). The Cohomological Crepant Resolution Conjecture, as proposed by Y. Ruan (Rua06), predicts the existence of an isomorphism between the orbifold cohomology ring of a Gorenstein orbifold Y and the quantum corrected cohomology ring of any crepant resolution : Z ! jY j of the coarse moduli space jY j of Y , when it exists. The quantum corrected cohomology ring of Z is a deformation of the cohomology ring whose denition involves Gromov-Witten invariants associated to certain exceptional sets. The conjecture belongs to the so called generalized McKay correspondence which broadly speaking can be viewed as a duality between the algebra of nite groups and the geometry of crepant resolutions. The following examples was used to verify it: the Hilbert scheme of r points on a projective surface S (see (LQ02) for r = 2, (ELQ03) and (LL) for S = P 2 r = 3, and (FG03), (QW02), (Uri05) for r general and S with numerically trivial canonical class); the Hilbert scheme of r points on a quasi-projective surface S carrying a holomorphic symplectic form (see (LQW04), (LS01) and (Vas01));

研究动机与目标

• 在加權射影空間的脈絡下驗證上同調型撓曲面解析猜想。
• 建立 Gorenstein 軌物的軌物上同調環與其撓曲面解析覆蓋的量子修正上同調環之間的同構。
• 透過上同調不變量，將廣義 McKay 對應推廣至非正則軌物。
• 分析 Gromov-Witten 不變量在撓曲面解析覆蓋上同調環變形中的角色。

提出的方法

• 將上同調型撓曲面解析猜想適應於具有非平凡軌物結構的加權射影空間。
• 計算 Gorenstein 軌物 Y = P(1;3;4;4) 和 P(1,…,1;n) 的軌物上同調環。
• 構造粗模空間 |Y| 的撓曲面解析覆蓋 π: Z → |Y|。
• 利用與例外除子相關的 Gromov-Witten 不變量定義 Z 的量子修正上同調環。
• 透過生成函數比較 Y 的軌物上同調環與 Z 的量子修正上同調環。
• 在修正後的猜想下，驗證兩環之間同構的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 上同調型撓曲面解析猜想是否成立於加權射影空間 P(1;3;4;4)？
• RQ2 該猜想能否被修正以容納具有非平凡穩定子群與非正則奇點的軌物？
• RQ3 P(1,…,1;n) 的軌物上同調環與其撓曲面解析覆蓋的量子修正上同調環之間是否存在同構？
• RQ4 Gromov-Witten 不變量如何促成解析覆蓋上同調環的變形？
• RQ5 廣義 McKay 對應在多大程度上可推廣至加權射影空間？

主要发现

• 上同調型撓曲面解析猜想在 P(1;3;4;4) 和 P(1,…,1;n) 上以修正形式成立。
• Gorenstein 軌物 Y 的軌物上同調環與其撓曲面解析覆蓋 Z 的量子修正上同調環之間存在同構。
• Z 的上同調環的變形完全由與例外集合相關的 Gromov-Witten 不變量所決定。
• 修正後的猜想成功涵蓋了加權射影空間中的軌物結構與奇點。
• 結果支持代數幾何中廣義 McKay 對應的更廣泛框架。
• 驗證結果為該猜想提供了超越先前研究案例（如曲面點的 Hilbert 模式）的證據。