[论文解读] On the cohomology of certain non-compact Shimura varieties (with an appendix by Robert Kottwitz)

Sophie Morel|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文计算了在有理数上单位群的非紧致Siegel簇的交点上同调上，由Hecke对应与Frobenius幂复合的算子的迹，通过在一般线性群的积上的扭曲迹公式实现稳定化。关键贡献是定理8.4.3，该定理将交点上同调复形的L函数用内插群上的自守L函数表示，通过稳定迹公式在算术几何与自守形式之间建立了联系。

ABSTRACT

The goal of this paper is to calculate the trace of the composition of a Hecke correspondence and a (high enough) power of the Frobenius at a good place on the intersection cohomology of the Satake-Baily-Borel compactification of certain Shimura varieties, to stabilize the result for Shimura varieties associated to unitary groups over $\mathbb{Q}$ and to give applications of this calculations using base change from these unitary groups to $GL_n$. ----- Le but de ce texte est de calculer la trace d'une correspondance de Hecke composee avec une puissance (assez grande) du Frobenius en une bonne place sur la cohomologie d'intersection de la compactification de Satake-Baily-Borel de certaines varietes de Shimura, de stabiliser le resultat obtenu pour les varietes de Shimura associees aux groupes unitaires sur $\mathbb{Q}$, et de donner des applications de ces calculs en utilisant le changement de base de ces groupes unitaires a $GL_n$.

研究动机与目标

• 计算非紧致Siegel簇的Baily-Borel紧化在交点上同调上的Hecke对应与Frobenius幂复合的迹。
• 利用有理数上单位群的稳定迹公式与扭曲迹公式，稳定该迹公式。
• 将交点上同调复形的L函数用内插群上的自守L函数表示。
• 通过稳定迹公式，建立几何上同调不变量与自守表示之间的精确联系。
• 更正并澄清Kottwitz工作中使用的Euler-Poincaré函数中符号特征的定义。

提出的方法

• 应用Kottwitz与Goresky-Kottwitz-MacPherson的不动点公式，将上同调上的迹与轨道积分联系起来。
• 使用加权上同调复形与交点上同调，处理Baily-Borel紧化带来的奇点。
• 采用内插转移与稳定化技术，将几何迹与内插群上的自守表示联系起来。
• 引入并比较内插群的扭曲转移因子，解决了早期表述中的不一致之处。
• 应用基本引理与哈尓测度的归一化，确保迹公式的内在一致性。
• 使用不变迹公式与非连通群的稳定化技术，将结果扩展至几何侧。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式计算非紧致Siegel簇的交点上同调上Hecke-Frobenius算子的迹？
• RQ2 交点上同调复形的L函数与内插群上自守L函数之间的确切关系是什么？
• RQ3 在单位群及其内插数据的背景下，扭曲转移因子与轨道积分如何实现稳定化？
• RQ4 在Kottwitz框架中，Euler-Poincaré函数的符号特征定义需要哪些修正？
• RQ5 不动点公式的稳定化如何导致自守L函数的几何实现？

主要发现

• 定理8.4.3为单位群Siegel簇的交点上同调上Hecke-Frobenius算子的迹建立了稳定迹公式。
• 推论8.4.5将交点上同调复形的局部L因子表示为内插群上自守表示L函数的线性组合。
• 证明了L函数log L℘(s, ICKV)可分解为内插群H ∈ EG的log L(s − d/2, πH,℘, rH)之和，其中包含显式系数cH(πH, rH)。
• 本文更正了Euler-Poincaré函数符号特征定义中的错误，表明在多单形中方向反转并不总对应于奇置换。
• 附录命题A.3.14证明了对于(G,H)-正则元素，稳定与扭曲轨道积分的匹配性可由G-正则元素的匹配性推出，依据胚展开与中心化子秩的分析。
• 附录解决了两种版本扭曲转移因子之间的不一致，证明了在标准与典范定义下的一致性，并更正了[K8]中的一个符号错误，该错误未影响最终定理。