[论文解读] On the cohomology of pure mapping class groups as FI-modules

Rita Jiménez Rolland|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文证明了纯映射类群、曲线模空间及相关微分同胚群的有理上同调构成有限生成的FI-模，从而导致贝蒂数的多项式增长与有理上同调稳定性。本文引入FI[G]-模以统一并强化表示稳定性结果，证明了贝蒂数关于n呈多项式增长，并给出了明确的次数界与稳定性范围。

ABSTRACT

In this paper we apply the theory of finitely generated FI-modules developed by Church, Ellenberg and Farb to certain sequences of rational cohomology groups. Our main examples are the cohomology of the moduli space of n-pointed curves, the cohomology of the pure mapping class group of surfaces and some manifolds of higher dimension, and the cohomology of classifying spaces of some diffeomorphism groups. We introduce the notion of FI[G]-module and use it to strengthen and give new context to results on representation stability discussed by the author in a previous paper. Moreover, we prove that the Betti numbers of these spaces and groups are polynomial and find bounds on their degree. Finally, we obtain rational homological stability of certain wreath products.

研究动机与目标

• 建立纯映射类群及相关空间的上同调构成有限生成FI-模。
• 在上同调序列的背景下，统一并强化先前关于表示稳定性的结果。
• 证明贝蒂数关于n呈多项式增长，并确定其次数的显式界。
• 将框架扩展至半直积，并证明此类群的有理上同调稳定性。
• 引入FI[G]-模的概念，以推广并强化拓扑与群上同调中的稳定性结果。

提出的方法

• 将Church、Ellenberg与Farb发展出的有限生成FI-模理论应用于上同调群序列。
• 定义共FI-空间与共FI-群，如Conf•(M)、Mg,•、PMod•(M)与B PDiff•(M)，以建模空间与群的序列。
• 利用上同调函子H^i(–;ℚ)从这些共FI-对象构造分次FI-模。
• 通过定理4.3、6.1、6.2、6.3与6.6中的直接论证，证明每个例子中H^i(X;ℚ)的有限生成性。
• 应用[CEF12]与[CEFN12]中的结果，推导出统一的表示稳定性与有理上同调稳定性。
• 引入FI[G]-模以推广FI-模框架，并将其应用于半直积与群扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 纯映射类群的有理上同调群是否构成有限生成的FI-模？
• RQ2 能否为这些上同调群的贝蒂数建立多项式增长与显式次数界？
• RQ3 有理上同调稳定性是否对半直积G ≀ S_n及更一般的群G ≀ K_n成立？
• RQ4 如何通过FI[G]-模将FI-模框架扩展以包含群作用？
• RQ5 由微分同胚群上同调产生的FI-模的稳定性范围与权重为何？

主要发现

• 有理上同调群H^i(PMod^n(Σ_g,r);ℚ)构成有限生成的FI-模，其稳定性范围满足n ≥ N，其中N依赖于i。
• 纯映射类群及相关空间的贝蒂数关于n呈多项式增长，其次数受i的限制。
• 对任意域k与i ≥ 0，FI-模H^i(B PDiff^n(M);k)是有限生成的，其权重≤ i，当k = ℚ时，稳定性类型至多为(2i, i)。
• 有理上同调稳定性对半直积G ≀ S_n及更一般的群G ≀ K_n成立，其中K_n来自共FI-群。
• 序列H^i(G^n × PK_n;ℚ)具有统一的表示稳定性，意味着在H^i(G ≀ K_n;ℚ)中，任意不可约S_n-表示V(λ)_n的重数最终为常数。
• FI-模H^k(PΣ_•;ℚ)对所有k ≥ 0均为有限生成，确认了纯弦运动群的统一表示稳定性，其稳定范围为n ≥ 4k。