[论文解读] On the cohomology ring of the moduli space of Higgs bundles I: Generators of the ring

Tamás Hausel, Michael Thaddeus|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文证明了黎曼曲面上秩2希格斯丛模空间的有理上同调环——微分同胚于所有中心常曲率联络空间的——由普遍类生成，将阿蒂yah-Bott的结果从稳定向量丛推广至非紧致的希格斯丛情形。关键洞见在于分析取值于K(n)（n > 0）的希格斯丛空间的直接极限，其具有规范群的分类空间的同伦型，从而确保了普遍类的生成性。

ABSTRACT

The moduli space of stable vector bundles on a Riemann surface is smooth when the rank and degree are coprime, and is diffeomorphic to the space of unitary connections of central constant curvature. A classic result of Newstead and Atiyah-Bott asserts that its rational cohomology ring is generated by the universal classes, that is, by the Kunneth components of the Chern classes of the universal bundle. This paper studies the larger, non-compact moduli space of Higgs bundles, as introduced by Hitchin and Simpson, with values in the canonical bundle K. This is diffeomorphic to the space of all connections of central constant curvature, whether unitary or not. The main result of the paper is that, in the rank 2 case, the rational cohomology ring of this space is again generated by universal classes. The spaces of Higgs bundles with values in K(n) for n > 0 turn out to be essential to the story. Indeed, we show that their direct limit has the homotopy type of the classifying space of the gauge group, and hence has cohomology generated by universal classes. A companion paper treats the problem of finding relations between these generators in the rank 2 case.

研究动机与目标

• 将经典阿蒂yah-Bott关于稳定向量丛上同调环的结果，推广至非紧致的希格斯丛模空间。
• 确定取值于canonical线丛K的秩2希格斯丛模空间的有理上同调环是否仍由普遍类生成。
• 分析取值于K(n)（n > 0）的希格斯丛空间在理解上同调结构中的作用。
• 确立这些希格斯丛空间的直接极限具有规范群分类空间的同伦型。
• 为后续论文中识别生成元之间关系奠定基础。

提出的方法

• 利用希格斯丛模空间与所有中心常曲率联络空间之间的微分同胚关系。
• 研究取值于K(n)（n > 0）的希格斯丛模空间的直接极限。
• 应用同伦理论，证明该直接极限具有规范群G的分类空间BG的同伦型。
• 利用BG上同调由普遍类生成的事实，推导出该直接极限的上同调亦由普遍类生成。
• 从直接极限的普遍类结构，推断出秩2希格斯丛模空间上同调环中普遍类的生成性。
• 通过Kunneth分量使用普遍丛及其陈类，在上同调环中定义普遍类。

实验结果

研究问题

• RQ1 取值于canonical线丛K的秩2希格斯丛模空间的有理上同调环是否仍由普遍类生成？
• RQ2 取值于K(n)（n > 0）的希格斯丛模空间如何贡献于希格斯丛模空间的整体上同调结构？
• RQ3 能否证明取值于K(n)的希格斯丛空间的直接极限具有规范群分类空间的同伦型？
• RQ4 规范群分类空间的上同调与希格斯丛模空间的上同调之间存在何种关系？
• RQ5 希格斯丛模空间的非紧致性如何影响其上同调环由普遍类生成的性质？

主要发现

• 黎曼曲面上秩2希格斯丛模空间的有理上同调环由普遍类生成。
• 取值于K(n)（n > 0）的希格斯丛模空间的直接极限具有规范群G的分类空间BG的同伦型。
• 该同伦等价意味着直接极限的上同调由普遍类生成。
• 希格斯丛模空间作为K(n)空间的并集的结构，使得普遍类生成性可从BG传递至希格斯丛空间。
• 该结果将阿蒂yah-Bott定理由稳定向量丛推广至秩2的非紧致希格斯丛情形。
• 该框架为后续论文中识别生成元间关系奠定了基础。