[论文解读] On the cohomology ring of the moduli space of rank 2 vector bundles on a curve

Alastair King, P. E. Newstead|ArXiv.org|Feb 16, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

本文研究了在亏格 g 的光滑复射影曲线上，具有固定奇数次度数行列式之稳定秩 2 向量丛模空间的有理上同调环。通过代数几何与不变量理论，本文验证了 Mumford 对上同调环结构公式的猜想，证明了在映射类群作用下的不变子环为完全交环，并为不变关系的理想计算出一个 Gröbner 基，从而得到一个自然的单项式基。

ABSTRACT

Let $\MS_g$ be the moduli space of stable holomorphic vector bundles of rank 2 and fixed determinant of odd degree over a smooth complex projective curve of genus $g$. This paper proves various properties of the rational cohomology ring $H^*(\MS_g)$. It is shown that the first relation in genus $g$ between the standard generators satisfies a recurrence relation in $g$ and that the invariant subring for the mapping class group is a complete intersection ring. (These two results have been obtained independently by Zagier, Baranovsky and Siebert & Tian.) A Gröbner basis is found for the ideal of invariant relations. A structural formula for $H^*(\MS_g)$ (originally conjectured by Mumford) is verified and a natural monomial basis is given.

研究动机与目标

• 理解在亏格 g 的曲线上，具有固定奇数次度数行列式之稳定秩 2 向量丛模空间的有理上同调环。
• 验证 Mumford 对上同调环 H*(M_g) 的结构公式猜想。
• 确定映射类群作用下不变子环的结构。
• 计算上同调环中不变关系理想的一个 Gröbner 基。
• 为上同调环 H*(M_g) 构造一个自然的单项式基。

提出的方法

• 作者使用代数几何技术分析稳定秩 2 向量丛模空间 M_g 的上同调环。
• 他们建立了在亏格 g 下标准生成元之间第一个关系的递推关系。
• 他们应用不变量理论，证明在映射类群作用下固定的子环为完全交环。
• 他们计算了在映射类群作用下不变的关系理想的 Gröbner 基。
• 他们利用 Gröbner 基为上同调环构造出一个单项式基，从而确认了 Mumford 的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在亏格 g 的曲线上具有固定奇数次度数行列式的秩 2 向量丛模空间，其有理上同调环 H*(M_g) 的结构是什么？
• RQ2 上同调环的标准生成元之间有何关系？当亏格 g 增加时，第一个关系是否存在递推关系？
• RQ3 在映射类群作用下的不变子环是否为完全交环？
• RQ4 Mumford 对 H*(M_g) 的结构公式猜想是否成立？
• RQ5 能否显式构造出 H*(M_g) 的一个自然单项式基？

主要发现

• H*(M_g) 的标准生成元之间的第一个关系在亏格 g 上满足递推关系。
• 在映射类群作用下的不变子环为完全交环。
• 为上同调环中不变关系的理想显式计算出一个 Gröbner 基。
• Mumford 最初猜想的 H*(M_g) 结构公式被验证为正确。
• 为上同调环 H*(M_g) 构造出一个自然的单项式基，确认其为有限维且结构良好的环。