[论文解读] On The Communication Complexity of High-Dimensional Permutations

Nati Linial, Pitassi, and Toniann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 40被引用 7

一句话总结

本文揭示了在人数为多人的数在额头上（NOF）模型中，高维置换的通信复杂度与加法组合学及拉姆齐理论中的基本问题之间的深刻联系。通过引入加法组合学与超图正则性的新技巧，作者们推导出NOF通信复杂度的新上界与下界，尤其针对三人情况，并揭示高维置换的复杂度与稠密Ruzsa-Szemerédi图的结构以及无三元等差数列的大集合的存在性密切相关。

ABSTRACT

We study the multiparty communication complexity of high dimensional permutations, in the Number On the Forehead (NOF) model. This model is due to Chandra, Furst and Lipton (CFL) who also gave a nontrivial protocol for the Exactly-n problem where three players receive integer inputs and need to decide if their inputs sum to a given integer $n$. There is a considerable body of literature dealing with the same problem, where $(\mathbb{N},+)$ is replaced by some other abelian group. Our work can be viewed as a far-reaching extension of this line of work. We show that the known lower bounds for that group-theoretic problem apply to all high dimensional permutations. We introduce new proof techniques that appeal to recent advances in Additive Combinatorics and Ramsey theory. We reveal new and unexpected connections between the NOF communication complexity of high dimensional permutations and a variety of well known and thoroughly studied problems in combinatorics. Previous protocols for Exactly-n all rely on the construction of large sets of integers without a 3-term arithmetic progression. No direct algorithmic protocol was previously known for the problem, and we provide the first such algorithm. This suggests new ways to significantly improve the CFL protocol. Many new open questions are presented throughout.

研究动机与目标

• 揭示并形式化NOF模型中高维置换的通信复杂度与加法组合学及拉姆齐理论核心问题之间的深刻联系。
• 为三人NOF模型的通信复杂度建立新的下界与上界，尤其针对与Exactly-n问题相关的函数。
• 基于超图正则性与加法组合学开发新的证明技巧，以克服NOF复杂度分析中长期存在的局限性。
• 揭示高维置换的复杂度等价或近乎等价于组合学中著名问题，如无三元等差数列的大集合的存在性。
• 通过提出与通信复杂度、超图移除及等差数列相关的关键开放问题，开启新的研究方向。

提出的方法

• 利用超图移除引理来界定k-部分(k−1)-均匀超图中不相交团的最大数量，从而导出αk(n, N)的上界。
• 应用三角形移除引理及其推广，分析NOF模型中的单色圆柱交集。
• 引入集合S ⊆[n]^k的闭包概念，该集合每条线至多交于一点，并研究φk(m)，即此类集合闭包的最小大小，以界定通信复杂度。
• 使用迭代着色与基于矩形的递归方法，推导出χ3(n, N)的下界，即避免单色A-星形配置所需的最少颜色数。
• 将高维置换的NOF复杂度约化为极值组合问题，如无等差数列集合的大小与稠密Ruzsa-Szemerédi图的性质。
• 运用多项式方法与加法组合学中的分歧性论证，分析圆柱交集中1-输入的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在NOF模型中，高维置换的通信复杂度是什么？它与加法组合学有何关联？
• RQ2 χ3(n, n)的下界能否超越Ω(log log n)，若能，对组合学问题意味着什么？
• RQ3 αk(n, N)，即k-部分(k−1)-均匀超图中不相交团的最大数量，其紧致界是什么？它与超图移除引理有何关系？
• RQ4 对于k > 2，φk(m)，即满足|S| = m且无直线包含超过一个点的集合S ⊆[n]^k的最小闭包大小，是否存在非平凡下界？
• RQ5 对于k > 3，χk(n, n)与αk(n, n)的界与已知结果相比如何？它们揭示了三角形移除引理的哪些局限性？

主要发现

• 本文证明了对所有k ≥ 3，有αk(n, N) ≤ O(k n^{k-2} N / log*(n))，其依据为超图移除引理与团密度的界。
• 在三人情况下，本文建立了下界χ3(n, n) ≥ log log n − O(log log log n)，表明任何避免单色A-星形的着色至少需要对数数量的色彩。
• χ3(n, n) ≥ Ω(log log n)的界意味着在n×n网格中避免单色等腰直角三角形所需的色彩数增长快于任何常数。
• 若χ3(n, n) ≥ ω(log log n)，则将改进三人NOF模型中随机化与确定性通信复杂度之间差距的最佳已知结果。
• 本文表明，若能改进上界χ3(n, n) ≤ 2^{O(√log n)}，将得到比当前已知更稠密的Ruzsa-Szemerédi图，对属性测试与提取器具有重大影响。
• 作者猜想：若在[n]^3中|S| ≥ n²/(log log n)^{c1}，且S每条线至多交于一点，则|S̄| ≥ n³/(log log n)^{c2}，这将显著强化χ3(n, n)的下界。